已知二次函数y=f（x）的图象经过原点，且f（x-1）=f（x）+x-1．（1）求f（x）的表达式．（2）设F（x）=4f（ax）+3a2x-1（a＞0且a≠1），当x∈[-1，1]时，F（x）有最大值14，试求a的值．试题及答案-单选题-云返教育

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已知二次函数y=f（x）的图象经过原点，且f（x-1）=f（x）+x-1．
（1）求f（x）的表达式．
（2）设F（x）=4f（a^x）+3a^2x-1（a＞0且a≠1），当x∈[-1，1]时，F（x）有最大值14，试求a的值．

见解析

解：（1）∵函数f（x）图象经过原点，∴设f（x）=ax²+bx（a≠0），
∵f（x-1）=f（x）+x-1，
∴a（x-1）²+b（x-1）=ax²+bx+x-1，即ax²-（2a-b）x+a-b=ax²+（b+1）x-1，
∴

{	-(2a-b)=b+1 a-b=-1

，解得a=-

，b=

．
∴f(x)=-

x²+

x．
（2）由F（x）=4f（a^x）+3a^2x-1（a＞0且a≠1），得F（x）=a^2x+2a^x-1，
①当a＞1时，令t=a^x，
∵x∈[-1，1]，∴t∈[

，a]，
∴g（t）=t²+2t-1=（t+1）²-2，t∈[

，a]，
∵对称轴t=-1，∴g（t）在[

，a]上是增函数．
∴g（a）=a²+2a-1=14，∴a²+2a-15=0，解得a=3，a=-5（舍）；
②当0＜a＜1时，
令u=a^x，∵x∈[-1，1]，∴u∈[a，

]，
∴g（u）=u²+2u-1=（u+1）²-2，u∈[a，

]，
∵对称轴u=-1，∴g（u）在[a，

]上是增函数．
∴g(

)=(

)²+

-1=14，∴

=3，

=-5（舍），∴a=

，
综上a=

或a=3．

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