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  • 若存在常数L，使得对任意x1，x2∈I且x1≠x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|，则称函数f（x）在区间I上满足L-条件．（1）求证：正弦函数f（x）=sinx在开区间(0，π2)上满足L-条件；（2）如果存在实数M，使得|f′（x）|≤M在区间I上恒成立，那么函数f（x）在I上是否满足L-条件？若满足，给出证明；若不满足，举出反例．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      若存在常数L，使得对任意x1，x2∈I且x1≠x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|，则称函数f（x）在区间I上满足L-条件．
      （1）求证：正弦函数f（x）=sinx在开区间(0，
      π
      2
      )上满足L-条件；
      （2）如果存在实数M，使得|f′（x）|≤M在区间I上恒成立，那么函数f（x）在I上是否满足L-条件？若满足，给出证明；若不满足，举出反例．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：要证存在常数L，使对任意x1，x2∈(0，
      π
      2
      )，都有|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|．
      不妨设x      1＜x2，∵f（x）=sinx在(0，
      π
      2
      )上递增，∴上式等价于sinx2-sinx1≤Lx2-Lx1，
      即sinx      1-Lx1≥sinx2-Lx2，
      转化为证明存在常数L，使函数F（x）=sinx-Lx在(0，
      π
      2
      )上递减，再转化为证明在(0，
      π
      2
      )上，
      F′（x）=cosx-L≤0恒成立，即cosx≤L恒成立，
      由于在(0，
      π
      2
      )上，恒有cosx≤1，故取L=1即可，证毕．
      （2）如果存在实数M，使得|f′（x）|≤M在区间I上恒成立，那么函数f（x）在I上满足L-条件，
      即对任意x      1，x2∈I且x1≠x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤M|x1-x2|（*），这里L=M．证明如下：
      不妨设x      1＜x2，按f（x1）与f（x2）的大小关系分类：
      2f（x      1）=f（x2）3时，（*）4显然成立；
      ②当f（x      1）＜f（x2）时，考虑函数G（x）=f（x）-Mx，x∈I，
      由于-M≤f′（x）≤M，故G'（x）=f'（x）-M≤0，从而G（x）在I上递减，
      又x      1＜x2，所以G（x1）≥G（x2），即f（x1）-Mx1≥f（x2）-Mx2，
      亦即f（x      2）-f（x1）≤M（x2-x1），也就是（*）成立；
      ③当f（x      1）＞f（x2）时，类似②，考虑函数H（x）=f（x）+Mx（x∈I）即可．（9分）
      综上所述，对任意x      1，x2∈I且x1≠x2，都有（*），所以函数f（x）在I上满足L-条件．
      另解：利用Lagrange中值定理，对任意x      1，x2∈I且x1≠x2，存在ξ∈I，使
      f(x1)-f(x2)
      x1-x2
      =f′(ξ)，于是|
      f(x1)-f(x2)
      x1-x2
      |=|f′(ξ)|≤M，即|f（x1）-f（x2）|≤M|x1-x2|．
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