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  • 已知函数f（x）=x+ax+a，x∈[1，+∞），且a＜1（1）判断f（x）单调性并证明；（2）若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．（3）若函数g（x）=xf（x）对任意x∈[2，5]时，g（x）+2x+32＞0恒成立，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x+
      a
      x
      +a，x∈[1，+∞），且a＜1
      （1）判断f（x）单调性并证明；
      （2）若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．
      （3）若函数g（x）=xf（x）对任意x∈[2，5]时，g（x）+2x+
      3
      2
      ＞0恒成立，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题得f（x）=x+
      a
      x
      +a，设1≤x1＜x2，
      则f(x      1)-f(x2)=x1-x2+
      a
      x1
      -
      a
      x2
      =(x1-x2)
      (x1x2-a)
      x1x2
      …（2分）
      因为1≤x      1＜x2，所以x1-x20．所以f（x1）-f（x2）＜0…（4分）
      所以f（x      1）＜f（x2），即f（x）在[1，+∞）上为增函数．…（5分）
      （2）由（1）得：f（x）在[1，+∞）上为增函数，要满足f（3m）＞f（5-2m），
      只要1≤5-2m＜3m，得1＜m≤2…（7分）
      （3）g（x）=xf（x）=x      2+ax+a，由g（x）+2x+
      3
      2
      ＞0得：x2+a(x+1)+2x+
      3
      2
      ＞0，即a(x+1)＞-(x+1)2-
      1
      2
      ①
      因为x∈[2，5]时，x+1∈[3，6]，那么①式可转化为a＞-(x+1)-
      1
      2(x+1)
      …（9分）
      所以题目等价于化为a＞-(x+1)-
      1
      2(x+1)
      在x∈[2，5]上恒成立．即a大于函数y=-(x+1)-
      1
      2(x+1)
      在x∈[2，5]上的最大值．
      即求y=(x+1)+
      1
      2(x+1)
      在x∈[2，5]上的最小值．…（10分）
      令t=x+1，则t∈[3，6]，所以y=t+
      1
      2t
      ，由（1）得y=t+
      1
      2t
      ，
      在t∈[3，6]，上为增函数，所以最小值为
      19
      6
      ．所以-
      19
      6
      ＜a＜1．…（12分）
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      必修1人教A版单选题高中数学

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