年级：: 全部; 一年级; 二年级; 三年级; 四年级; 五年级; 六年级

年级：: 全部; 初一; 初二; 初三

年级：: 全部; 高一; 高二; 高三

年份：: 全部; 2017; 2016; 2015; 2014; 2013; 2012; 2011; 2010-2007; 2000-2006

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设函数f（x）=xn（n≥2，n∈N*）（1）若Fn（x）=f（x-a）+f（b-x）（0＜a＜x＜b），求Fn（x）的取值范围；（2）若Fn（x）=f（x-b）-f（x-a），对任意n≥a （2≥a＞b＞0），证明：F（n）≥n（a-b）（n-b）n-2．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设函数f（x）=xⁿ（n≥2，n∈N^*）
（1）若F_n（x）=f（x-a）+f（b-x）（0＜a＜x＜b），求F_n（x）的取值范围；
（2）若F_n（x）=f（x-b）-f（x-a），对任意n≥a （2≥a＞b＞0），证明：F（n）≥n（a-b）（n-b）^n-2．

试题解答

见解析

解：（1）∵F_n（x）=f （x-a）+f（b-x）=（x-a）ⁿ+（b-x）ⁿ
F_n（x）=n（x-a）^n-1+n（b-x）^n-1?（-1）=n[（x-a）^n-1-（b-x）^n-1]
令F_n（x）=0得（x-a）^n-1=（b-x）^n-1
∵0＜a＜x＜b∴f （x）=xⁿ（n≥2，n∈N⁺）为单调增函数
∴x=

a+b

（a，

a+b

）

a+b

（

a+b

，b）

F_n（x）

单调减

极小值

单调增

∴F_n（x）_min=F_n（

a+b

）=（

b-a

）ⁿ+（

b-a

）ⁿ=

(b-a)ⁿ

2^n-1

又F_n（x）在x=a，x=b处连续且F_n（a）=F_n（b）=（b-a）ⁿ
故

(b-a)ⁿ

2^n-1

≤F_n（x）＜（b-a）ⁿ
即F_n（x）的取值范围为[

(b-a)ⁿ

2^n-1

，（b-a）ⁿ）…（7分）
（2）???明：∵F_n（x）=f（x-b）-f（x-a）=（x-b）ⁿ-（x-a）ⁿ
∴F_n（x）=n[（x-b）^n-1-（x-a）^n-1]
则F_n（n）=n[（n-b）^n-1-（n-a）^n-1]
∵当x≥a＞0时F（x）＞0
∴当x≥a＞0时F_n（x）是关于x的增函数
∴当n≥a时，（n+1-b）ⁿ-（n+1-a）ⁿ＞（n-b）ⁿ-（n-a）ⁿ＞0
∴F_n（n+1）=（n+1）[（n+1-b）ⁿ-（n+1-a）ⁿ]＞（n+1）[（n-b）ⁿ-（n-a）ⁿ]
＞（n+1）[（n-b）（n-b）^n-1-（n-b）（n-a）^n-1]
=（n+1）（n-b）[（n-b）^n-1-（n-a）^n-1]
=

n+1

（n-b）?F（n）
而F_n（n）＞0
于是

F_n+1(n+1)

F_n(n)

＞

n+1

?（n-b）
而F（2）=2[（2-b）^2-1-（2-a）^2-1]=2（a-b）
当n≥3时
F（n）=

F_n(n)

F_n+1(n+1)

F_n-1(n-1)

F_n-2(n-2)

…

F₃(3)

F₂(2)

?F（2）
＞

n-1

n-2

…

?2（a-b）?（n-b）^n-2
=n（a-b）（n-b）^n-2
即F（n）≥n（a-b）（n-b）^n-2…（14分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

设函数f（x）=xn（n≥2，n∈N*）（1）若Fn（x）=f（x-a）+f（b-x）（0＜a＜x＜b），求Fn（x）的取值范围；（2）若Fn（x）=f（x-b）-f（x-a），对任意n≥a （2≥a＞b＞0），证明：F（n）≥n（a-b）（n-b）n-2．试题及答案-单选题-云返教育

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试题解答

集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题