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在直角坐标系中,设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O(0,0)、P(1,t)、Q(1-2t,2+t)、R(-2t,2),其中t∈(0,+∞).(1)求矩形OPQR在第一象限部分的面积S(t);(2)确定函数S(t)的单调区间,并加以证明.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
在直角坐标系中,设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O(0,0)、P(1,t)、Q(1-2t,2+t)、R(-2t,2),
其中t∈(0,+∞).
(1)求矩形OPQR在第一象限部分的面积S(t);
(2)确定函数S(t)的单调区间,并加以证明.
试题解答
见解析
解:(1)当1-2t>0即0<t<
1
2
时,0<t<
1
2
时,点Q在第一象限,如图(1),
直线RQ的方程为y=t(x+2t)+2,它与y轴的交点T(0,2+2t
2
),
故△ORT的面积S=
1
2
×2t×(2+2t
2
)=2t×(1+t
2
)
可得矩形在第一象限内的部分面积为S(t)=2+2t
2
-2t×(1+t
2
)=2[1-t×(1+t+t
2
)]
当-2t+1≤0,即t≥
1
2
时,如图(2),点Q在y轴上或第二象限,S(t)为△OPT的面积,
直线PQ的方程为y=-
x
t
+t+
1
t
,
令x=0得y=t+
1
t
,故点T的坐标为(0,t+
1
t
),
故S(t)=S
△OPT
=
1
2
×(t+
1
t
) ×1=
1
2
×(t+
1
t
)
综上知S(t)=
{
2[1-t×(1+t+t
2
)] 0<t<
1
2
1
2
×(t+
1
t
) t≥
1
2
(2)S(t)在区间(0,
1
2
)与(
1
2
,1)上是减函数,在(1,+∞)是增函数,证明如下
下用导数法证明:
由于S'(t)=
{
-2-4t-6t
2
0<t<
1
2
1
2
(1-
1
t
2
) t≥
1
2
验证知当在区间(0,
1
2
)与(
1
2
,1)上S'(t)<0,在(1,+∞)上S'(t)>0
故得S(t)在区间(0,
1
2
)与(
1
2
,1)上是减函数,在(1,+∞)是增函数
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