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设集合A={a,a2,b2-1},B={0,|a|,b},且A=B.(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)=-bx-ax的单调递增区间,并证明.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设集合A={a,a
2
,b
2
-1},B={0,|a|,b},且A=B.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)=-bx-
a
x
的单调递增区间,并证明.
试题解答
见解析
解:(1)两集合相等,观察发现a不能为O,故只有b
2
-1=0,得b=-1,或b=1
当b=-1时,故b与a对应,所以a=-1,
如果b=1则必有|a|=1,B不成立;
故a=-1,b=-1…4分
(2)由(1)得f(x)= x+
1
x
,因为x∈R时,当x>0时,f(x)= x+
1
x
≥2,x=1时取得最小值,
函数f(x)= x+
1
x
的单调增区间为(-∞,-1],[1,+∞);函数是奇函数,单调减区间为:(-1,0),(0,1).
①在[1,+∞)是增函数
任取x
1
,x
2
∈[1,+∞)令x
1
<x
2
,
f(x
1
)-f(x
2
)=
x
1
+
1
x
1
-
x
2
-
1
x
2
=(x
1
-x
2
)(1-
1
x
1
x
2
)
∵1≤x
1
<x
2
,
∴x
1
-x
2
<0,又x
1
x
2
>1,故1-
1
x
1
x
2
>0
∴f(x
1
)-f(x
2
)=(x
1
-x
2
)(1-
1
x
1
x
2
)<0
∴f(x
1
)<f(x
2
)
故f(x)= x+
1
x
,在[1,+∞)是增函数.
因为函数f(x)= x+
1
x
是奇函数,所以(-∞,-1]也是增函数;…8分
②函数在x∈(0,1)时,
任取x
1
,x
2
∈(0,1),令x
1
<x
2
,
f(x
1
)-f(x
2
)=
x
1
+
1
x
1
-
x
2
-
1
x
2
=(x
1
-x
2
)(1-
1
x
1
x
2
)
∵0<x
1
<x
2
<1
∴x
1
-x
2
<0,又1>x
1
x
2
>0,故1-
1
x
1
x
2
<0
∴f(x
1
)-f(x
2
)=(x
1
-x
2
)(1-
1
x
1
x
2
)>0
∴f(x
1
)>f(x
2
)
故f(x)= x+
1
x
,在(0,1)是减函数.
因为函数f(x)= x+
1
x
是奇函数,所以(-1,0)也是减函数.
综上函数f(x)= x+
1
x
的单调增区间为(-∞,-1],[1,+∞);
单调减区间为:(-1,0),(0,1).…12分
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Venn图表达集合的关系及运算;并集及其运算;补集及其运算;集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;集合关系中的参数取值问题;集合中元素个数的最值;交、并、补集的混合运算;交集及其运算;空集的定义、性质及运算;全集及其运算;元素与集合关系的判断;子集与真子集;方根与根式及根式的化简运算;分数指数幂;根式与分数指数幂的互化及其化简运算;有理数指数幂的化简求值;有理数指数幂的运算性质;正整数指数函数;指数函数的单调性的应用;指数函数的单调性与特殊点;指数函数的定义、解析式、定义域和值域;指数函数的实际应用;指数函数的图像变换;指数函数的图像与性质;指数函数综合题;指数型复合函数的性质及应用;二分法的定义;二分法求方程的近似解;根的存在性及根的个数判断;函数的零点;函数的零点与方程根的关系;函数零点的判定定理;函数与方程的综合运用
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