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  • 已知函数f（x）=ax2-|x|+2a-1（a为实常数）．（Ⅰ）若a=1，作函数f（x）的图象并写出单调区间；（Ⅱ）当a≥0时，设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；（Ⅲ）设h（x）=f(x)x，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ax2-|x|+2a-1（a为实常数）．
      （Ⅰ）若a=1，作函数f（x）的图象并写出单调区间；
      （Ⅱ）当a≥0时，设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
      （Ⅲ）设h（x）=
      f(x)
      x
      ，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（I）当a=1时，f（x）=x2-|x|+1=
      {
      x2+x+1，x＜0
      x2-x+1，x≥0
      ，
      作图如下
      单调减区间：（-∞，-
      1
      2
      ]，[0，
      1
      2
      ]，单调增区间：[-
      1
      2
      ，0]，[
      1
      2
      ，+∞），
      （II）当x∈[1，2]时，f（x）=ax      2-x+2a-1．
      若a=0，则f（x）=-x-1在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=-3．
      若a＞0，则f（x）=a（x-
      1
      2a
      ）2+2a-
      1
      4a
      -1，f（x）图象的对称轴是直线x=
      1
      2a
      ．
      当0＜
      1
      2a
      ＜1，即a＞
      1
      2
      时，f（x）在区间[1，2]上是增函数，
      g（a）=f（1）=3a-2．
      当1≤
      1
      2a
      ≤2，即
      1
      4
      ≤a≤
      1
      2
      时，g（a）=f(
      1
      2a
      )=2a-
      1
      4a
      -1．
      当
      1
      2a
      ＞2，即0＜a＜
      1
      4
      时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，
      g（a）=f（2）=6a-3．
      综上可得g（a）=
      {
      6a-3，0≤a＜
      1
      4
      2a-
      1
      4a
      -1，
      1
      4
      ≤a≤
      1
      2
      3a-2，a＞
      1
      2
      ．
      （III）当x∈[1，2]时，h（x）=ax+
      2a-1
      x
      -1，在区间[1，2]上任取x1、x2，且x1＜x2，
      则h（x      2）-h（x1）=(ax2+
      2a-1
      x2
      -1)-(ax1+
      2a-1
      x1
      -1)=（x2-x1）(a-
      2a-1
      x1x2
      )
      =（x      2-x1）
      ax1x2-(2a-1)
      x1x2
      ．…（11分）
      因为h（x）在区间[1，2]上是增函数，
      所以h（x      2）-h（x1）＞0．
      因为x      2-x1＞0，x1x2＞0，所以ax1x2-（2a-1）＞0，
      即ax      1x2＞2a-1．
      当a=0时，上面的不等式变为0＞-1，即a=0时结论成立．
      当a＞0时，x      1x2＞
      2a-1
      a
      ，由1＜x1x2＜4，得
      2a-1
      a
      ≤1，解得0＜a≤1．
      当a＜0时，x      1x2＜
      2a-1
      a
      ，由1＜x1x2＜4，得
      2a-1
      a
      ≥4，解得-
      1
      2
      ≤a＜0．
      所以实数a的取值范围为[-
      1
      2
      ，1]．
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