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  • 在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=2，BC=1，点A，C分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点C随着在正y轴上运动．（1）当A在原点时，求原点O到点B的距离OB；（2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；（3）求原点O到点B的距离OB的最大值，并确定此时图形应满足什么条件？试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=2，BC=1，点A，C分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点C随着在正y轴上运动．
      （1）当A在原点时，求原点O到点B的距离OB；
      （2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；
      （3）求原点O到点B的距离OB的最大值，并确定此时图形应满足什么条件？

      试题解答

      见解析
      解：（1）当A点在坐标原点时，如图，

      AC在y轴上，BC⊥y轴，
      所以OB=
      √AC2+BC2
      =
      √5
      ．
      目的是从特殊情况理解题意，考察勾股定理的基本应用与计算．

      （2）当OA=OC时，如图，△OAC是等腰直角三角形，AC=2．
      所以∠1=∠2=45°，OA=OC=
      √2
      ．
      过点B作BE⊥OA于E，过点C作CD⊥OC，且CD与BE交于点D，
      则∠3=90°-∠ACD=90°-（90°-45°）=45°．又BC=1，
      所以CD=BD=
      √2
      2
      ，BE=BD+DE=BD+OC=
      3
      √2
      2
      ，
      因此OB=
      √(
      √2
      2
      )2+(
      3
      √2
      2
      )2
      =
      √5
      ．

      （3）解法一：如图所示，设∠ACO=θ，过C作CD⊥OC，

      由于∠BCA=90°，所以∠BCD=θ．由AC=2，BC=1，可以得B点的坐标
      为B（cosθ，sinθ+2cosθ）．则l      2=OB2=cos2θ+（sinθ+2cosθ）2=cos2θ+sin2θ+4sinθcosθ+4cos2θ=1+2sin2θ+4cos2θ=3+2sin2θ+2（2cos2θ-1）=3+2sin2θ+2cos2θ=3+2
      √2
      [
      √2
      2
      sin2θ+
      √2
      2
      cos2θ]=3+2
      √2
      sin(2θ+
      π
      4
      )
      当θ=
      π
      8
      时，l2max=3+2
      √2
      =(1+
      √2
      )2，所以lmax=1+
      √2
      ．
      解法二：如图，取AC的中点E，连接OE，BE．在Rt△AOC中，OE是斜边AC上的中线，所以OE=
      1
      2
      AC=1．

      在△ACB中，BC=1，CE=
      1
      2
      AC=1，∠BCE=90°，
      所以BE=
      √2
      ．
      若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+EB=1+
      √2
      ，
      若点O，E，B在一条直线上，
      则OB=OE+EB=1+
      √2
      ，
      所以当点O，E，B在一条直线上时，OB取到最大值，
      最大值是1+
      √2
      ．
      当O，E，B在一条直线上时，OB取到最大值时，
      从下图可见，OE=1，EB=
      √2
      ．∠CEB=45°，但CE=OE=1，
      ∠ECO=∠COE=
      ∠CEB
      2
      =
      45??
      2
      =22.5°．
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      八年级下册湘教版解答题初二数学

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