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  • （2010?牡丹江）在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为高，F为BC的中点，连接DE、DF、EF，则结论：①DF=EF；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等边三角形；④BE+CD=BC；⑤当∠ABC=45°时，BE=√2DE中，一定正确的有（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      （2010?牡丹江）在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为高，F为BC的中点，连接DE、DF、EF，则结论：①DF=EF；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等边三角形；④BE+CD=BC；⑤当∠ABC=45°时，BE=
      √2
      DE中，一定正确的有（　　）

      试题解答

      C
      解：①∵BD、CE为高，∴∠BDC=∠CEB=90°，又∵F为BC的中点，∴DF=
      1
      2
      BC，EF=
      1
      2
      BC，∴DF=EF；
      ②∵∠A=∠A，∠ADB=∠AEC，∴△ADB∽△AEC，∴AD：AB=AE：AC；
      ③∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵DF=CF，EF=BF，∴∠BEF+∠CDF=120°，∴∠BFE+∠CFD=120°，∴∠DFE=60°，又∵DF=EF，∴△DEF是等边三角形；
      ④∵∠BAC=60°，BD、CE为高，
      ∴∠ABD=∠ACE=30°，
      ∴∠DBC+∠ECB=180°-∠A-∠ABD-∠ACE=60°，
      ∴∠CBD=60°-∠BCE，
      ∴BE+CD=BC?sin∠BCE+BC?sin∠CBD=BC?（sin∠BCE+sin∠CBD）=BC?[sin∠BCE+sin（60°-∠BCE）]，
      不一定等于BC；
      ⑤∵∠ABC=45°，∴BE=
      √2
      2
      BC=
      √2
      DE．
      正确的共4个．
      故选C．
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