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如图,已知⊙O的半径为1,PQ是⊙O的直径,n个相同的正三角形沿PQ排成一列,所有正三角形都关于PQ对称,其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合,第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点,…,最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上.(1)如图1,当n=1时,求正三角形的边长a1;(2)如图2,当n=2时,求正三角形的边长a2;(3)如题图,求正三角形的边长an(用含n的代数式表示)试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
如图,已知⊙O的半径为1,PQ是⊙O的直径,n个相同的正三角形沿PQ排成一列,所有正三角形都关于PQ对称,其中第一个△A
1
B
1
C
1
的顶点A
1
与点P重合,第二个△A
2
B
2
C
2
的顶点A
2
是B
1
C
1
与PQ的交点,…,最后一个△A
n
B
n
C
n
的顶点B
n
、C
n
在圆上.
(1)如图1,当n=1时,求正三角形的边长a
1
;
(2)如图2,当n=2时,求正三角形的边长a
2
;
(3)如题图,求正三角形的边长a
n
(用含n的代数式表示)
试题解答
见解析
解:(1)设PQ与B
1
C
1
交于点D,连接B
1
O.
∵△PB
1
C
1
是等边三角形,
∴A
1
D=PB
1
?sin∠PB
1
C
1
=a
1
?sin60°=
√
3
2
a
1
,
∴OD=A
1
D-OA
1
=
√
3
2
a
1
-1,
在△OB
1
D中,OB
1
2
=B
1
D
2
+OD
2
,
∴OD=A
1
D-OA
1
=
√
3
2
a
1
-1,
即1
2
=(
1
2
a
1
)
2
+(
√
3
2
a
1
-1)
2
,
解得a
1
=
√
3
;
(2)设PQ与B
2
C
2
交于点E,连接B
2
O.
∵△A
2
B
2
C
2
是等边三角形,
∴A
2
E=A
2
B
2
?sin∠A
2
B
2
C
2
=a
2
?sin60°=
√
3
2
a
2
,
∵△PB
1
C
1
是与△A
2
B
2
C
2
边长相等的正三角形,
∴PA
2
=A
2
E=
√
3
2
a
2
,
OE=A
1
E-OA
1
=
√
3
a
2
-1,
在△OB
2
E中,OB
2
2
=B
2
E
2
+OE
2
,
即1
2
=(
1
2
a
2
)
2
+(
√
3
a
2
-1)
2
,
解得a
2
=
8
√
3
13
;
(3)设PQ与B
n
C
n
交于点F,连接B
n
O,
得出OF=A
1
F-OA
1
=
√
3
2
na
n
-1,
同理,在△OB
n
F中,OB
n
2
=B
n
F
2
+OF
2
,
即1
2
=(
1
2
a
n
)
2
+(
√
3
2
na
n
-1)
2
,
解得a
n
=
4
√
3
n
3n
2
+1
.
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九年级上
浙教版
解答题
初学
数学
三角形的外接圆与外心
相关试题
如图,△ABC为锐角三角形,P,Q为边BC上的两点,△ABP和△ACQ的外接圆圆心分别为O1和O2.试判断BO1的延长线与CO2的延长线的交点D是否可能在△ABC的外接圆上,并说明理由.?
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锐角△ABC中,O,G,H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外,重心到三边距离和为d重,垂心到三边距离和为d垂.求证:1?d垂+2?d外=3?d重.?
如图,AB为等腰直角△ABC的斜边(AB为定长线段),O为AB的中点,P为AC延长线上的一个动点,线段PB的垂直平分线交线段OC于点E,D为垂足,当P点运动时,给出下列四个结论:①E为△ABP的外心;②△PBE为等腰直角三角形;③PC?OA=OE?PB;④√2CE+PC的值不变.?
多项式是_______次_______项式.?
当x=1时,代数式的值为3,则代数式﹣2a﹣b﹣2的值为_________.?
把下列各数填在相应的大括号里(填序号).正数集合{ };负整数集合{ };整数集合{ };负分数集合{ }.?
下列哪个事例不能证明地球的形状?
下列现象中,能说明地球是球体形状的是?
我们生活的地球的形状应该是?
第1章 二次函数
1.1 二次函数
二次函数的定义
第2章 简单事件的概率
2.1 事件的可能性
可能性的大小
第3章 圆的基本性质
3.1 圆
点与圆的位置关系
确定圆的条件
三角形的外接圆与外心
圆的认识
第4章 相似三角形
4.1 比例线段
比例的性质
比例线段
黄金分割
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