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  • 如图，已知O为原点，点A的坐标为（5.5，4），⊙A的半径为2．过A作直线l平行于x轴，交y轴于点B，点P在直线l上运动．（1）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由；（2）设点P的横坐标为a，请你求出当直线OP与⊙A相切时a的值．（参考数据：√10≈3.162，√676=26）试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，已知O为原点，点A的坐标为（5.5，4），⊙A的半径为2．过A作直线l平行于x轴，交y轴于点B，点P在直线l上运动．
      （1）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由；
      （2）设点P的横坐标为a，请你求出当直线OP与⊙A相切时a的值．
      （参考数据：
      √10
      ≈3.162，
      √676
      =26）

      试题解答

      见解析
      解：（1）连接OP，过点A作AC⊥OP，垂足为点C，
      则AP=PB-AB=12-5.5=6.5，OB=4，OP=
      √122+42
      =4
      √10
      ，???∠ACP=∠OBP=90°，∠APC=∠OPB
      ∴△APC∽△OPB，∴
      AC
      OB
      =
      AP
      OP
      ，∴
      AC
      4
      =
      6.5
      4
      √10
      ，∴AC=
      13
      √10
      20
      ≈2.06＞2
      ∴直线OP与⊙A相离．

      （2）设直线OP与⊙A相切于点H
      分两种情况
      ①当点P在线段AB上（即当点P在点A的左侧时），如图（1）所示
      BP=a，AP=5.5-a，
      ∵∠APH=∠OPB，∠AHP=∠OBP=90°，∴△APH∽△OPB，∴
      AP
      OP
      =
      AH
      OB
      ，∴
      5.5-a
      OP
      =
      2
      4

      得OP=11-2a
      在Rt△OBP中，（11-2a）      2=a2+42
      解得a      1=3，a2=
      35
      3
      （舍去）
      ②当点P在点A的右侧时，如图（2）所示
      BP=a，AP=a-5.5，同理得△APH∽△OPB，∴
      AP
      OP
      =
      AH
      OB
      ，∴
      a-5.5
      OP
      =
      2
      4

      得OP=2a-11
      在Rt△OBP中，（2a-11）      2=a2+42
      解得a      1=3（舍去），a2=
      35
      3

      ∴当直线OP与⊙A相切时，a的值为3或
      35
      3
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