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设C为线段AB的中点,四边形BCDE是以BC为一边的正方形.以B为圆心,BD长为半径的⊙B与AB相交于F点,延长EB交⊙B于G点,连接DG交于AB于Q点,连接AD.求证:(1)AD是⊙B的切线;(2)AD=AQ;(3)BC2=CF?EG.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
设C为线段AB的中点,四边形BCDE是以BC为一边的正方形.以B为圆心,BD长为半径的
⊙B与AB相交于F点,延长EB交⊙B于G点,连接DG交于AB于Q点,连接AD.
求证:(1)AD是⊙B的切线;
(2)AD=AQ;
(3)BC
2
=CF?EG.
试题解答
见解析
证明:(1)连接BD,
∵四边形BCDE是正方形,
∴∠DBA=45°,∠DCB=90°,即DC⊥AB,
∵C为AB的中点,
∴CD是线段AB的垂直平分线,
∴AD=BD,
∴∠DAB=∠DBA=45°,
∴∠ADB=90°,
即BD⊥AD,
∵BD为半径,
∴AD是⊙B的切线;
(2)∵BD=BG,
∴∠BDG=∠G,
∵CD∥BE,
∴∠CDG=∠G,
∴∠G=∠CDG=∠BDG=
1
2
∠BCD=22.5°,
∴∠ADQ=90°-∠BDG=67.5°,∠AQB=∠BQG=90°-∠G=67.5°,
∴∠ADQ=∠AQD,
∴AD=AQ;
(3)连接DF,
在△BDF中,BD=BF,
∴∠BFD=∠BDF,
又∵∠DBF=45°,
∴∠BFD=∠BDF=67.5°,
∵∠GDB=22.5°,
在Rt△DEF与Rt△GCD中,
∵∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE,∠DCF=∠E=90°,
∴Rt△DCF∽Rt△GED,
∴
CF
ED
=
CD
EG
,
又∵CD=DE=BC,
∴BC
2
=CF?EG.
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