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同学们都学习过《几何》课本第三册第199页的第11题,它是这样的:如图,A为⊙O的直径EF上的一点,OB是和这条直径垂直的半径,BA和⊙O相交于另一点C,过点C的切线和EF的延长线相交于点D,求证:DA=DC.(1)现将图1中的直径EF所在直线进行平行移动到图2所示的???置,此时OB与EF垂直相交于H,其它条件不变.①求证:DA=DC;②当DF:EF=1:8,且DF=√2时,求AB?AC的值.(2)将图2中的EF所在直线继续向上平行移动到图3所示的位置,使EF与OB的延长线垂直相交于H,A为EF上异于H的一点,且AH小于⊙O的切线交EF于D,试猜想:DA=DC是否仍然成立?证明你的结论.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
同学们都学习过《几何》课本第三册第199页的第11题,它是这样的:
如图,A为⊙O的直径EF上的一点,OB是和这条直径垂直的半径,BA和⊙O相交于另一点C,过点C的切线和EF的延长线相交于点D,求证:DA=DC.
(1)现将图1中的直径EF所在直线进行平行移动到图2所示的???置,此时OB与EF垂直相交于H,其它条件不变.
①求证:DA=DC;
②当DF:EF=1:8,且DF=
√
2
时,求AB?AC的值.
(2)将图2中的EF所在直线继续向上平行移动到图3所示的位置,使EF与OB的延长线垂直相交于H,A为EF上异于H的一点,且AH小于⊙O的切线交EF于D,试猜想:DA=DC是否仍然成立?证明你的结论.
试题解答
见解析
解:(1)①证明:连OC,则OC⊥DC,
∴∠DCA=90°-∠ACO=90°-∠B,
又∠DAC=∠BAE=90°-∠B,
∴∠DAC=∠DCA∴DA=DC,
②∵DF:EF=1:8,DF=
√
2
,
∴EF=8DF=8
√
2
,
又DC为切线,
∴DC
2
=DF?DE=
√
2
×9
√
2
=18,
∴DC=3
√
2
,
∴AD=DC=3
√
2
,
∴AF=AD-DF=2
√
2
,
∴AE=EF-AF=6
√
2
,
∴AB?AC=AE?AF=24;
(2)结论DA=DC仍然成立,理由如下:
延长BO交⊙O于K,连CK,则∠KCB=90°,
又DC为⊙O的切线,
∴∠DCA=∠CKB=90°-∠CBK,
又∠BAH=90°-∠HBA,
而∠CBK=∠HBA,
∴∠DCA=∠BAH,
∴DA=DC.
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