已知定义在R上的函数f（x）=a-2x2x+1是奇函数．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义在R上的函数f（x）=

a-2^x

2^x+1

是奇函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）由于定义在R上的函数f（x）=

a-2^x

2^x+1

是奇函数，
故有f（0）=0，即

a-1

=0，解得 a=1．
（Ⅱ）由上可得 f（x）=

1-2^x

2^x+1

1+2^x

-1，设x₁＜x₂，
可得f（x₁）-f（x₂）=（

1+2^x₁

-1）-（

1+2^x₂

-1）=

1+2^x₁

1+2^x₂

2(2^x₂-2^x₁)

(1+2^x₁)(1+2^x₂)

．
由题???可得2^x₂-2^x₁＞0，（1+2^x₂）（1+2^x₁）＞0，故f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），故函数f（x）是R上的减函数．
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，
等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k）恒成立，
等价于 t²-2t＞-2t²+k恒成立，等价于3t²-2t-k＞0恒成立，故有判别式△=4+12k＜0，
解得k＜-

，故k的范围为（-∞，-

）．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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