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  • 在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数为减函数，则称函数f（x）为“弱增函数”．已知函数f（x）=1-．（1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增函数”；（2）设x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，证明：|f（x2）-f（x1）|＜；（3）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤≤1-bx恒成立，求实数a，b的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数为减函数，则称函数f（x）为“弱增函数”．已知函数f（x）=1-．
      （1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增函数”；
      （2）设x      1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，证明：|f（x2）-f（x1）|＜；
      （3）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤      ≤1-bx恒成立，求实数a，b的取值范围．

      试题解答

      见解析
      （1）显然f（x）在区间上为增函数（0，1]，
      因为      =====，
      所以      在区间（0，1]上为减函数．
      所以f（x）在区间（0，1]上为“弱增函数”．

      （2）证法1：要证|f（x      2）-f（x1）|＜，不妨设0≤x1＜x2，
      由f（x）=1-      在[0，+∞）单调递增，
      得f（x      2）＞f（x1），
      那么只要证f（x      2）-f（x1）＜，
      即证f（x      2）-＜f（x1）-．
      令g（x）=f（x）-      ，则问题转化为只要证明g（x）=f（x）-在[0，+∞）单调递减即可．
      事实上，g（x）=f（x）-      =1--，
      当x∈[0，+∞）时，g′（x）=      -≤0，
      所以g（x）=f（x）-      在[0，+∞）单调递减，
      故命题成立．
      证法2：|f（x      2）-f（x1）|==
      =      ，
      因为x      1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，＞2，
      所以|f（x      2）-f（x1）|＜．

      （3）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤      ≤1-bx恒成立．
      当x=0时，不等式显然成立．
      当x∈（0，1]时，等价于      恒成立．
      由（1）知      为减函数，1-≤＜，
      所以a≥      且b≤1-．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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