年级：: 全部; 一年级; 二年级; 三年级; 四年级; 五年级; 六年级

年级：: 全部; 初一; 初二; 初三

年级：: 全部; 高一; 高二; 高三

年份：: 全部; 2017; 2016; 2015; 2014; 2013; 2012; 2011; 2010-2007; 2000-2006

地区：: 全部; 北京; 上海; 天津; 重庆; 安徽; 甘肃; 广东; 广西; 贵州; 海南; 河北; 河南; 湖北; 湖南; 吉林; 江苏; 江西; 宁夏; 青海; 山东; 山西; 陕西; 西藏; 新疆; 浙江; 福建; 辽宁; 四川; 黑龙江; 内蒙古

设f（x）=x+4x2（x＞0）．（1）判断并用定义证明函数f（x）在区间（2，+∞）上的单调性；（2）若m∈R，求函数f（x）在闭区间[2m，2m+1]上的值域．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设f（x）=x+

x²

（x＞0）．
（1）判断并用定义证明函数f（x）在区间（2，+∞）上的单调性；
（2）若m∈R，求函数f（x）在闭区间[2^m，2^m+1]上的值域．

试题解答

见解析

解：（1）f（x）在（2，+∞）上单调递增，证明如下：
任取x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

x₁²

）-（x₂+

x₂²

）
=（x₁-x₂）+（

x₁²

x₂²

）
=（x₁-x₂）（1-

4(x₁+x₂)

x₁²x₂²

）
=（x₁-x₂）（1-

x₁x₂²

x₁²x₂

），
∵x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂²＞8，x₁x₂²＞8，∴

x₁x₂²

＜

，

x₁²x₂

＜

，
∴1-

x₁x₂²

x₁²x₂

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在区间（2，+∞）上单调递增；
（2）f′（x）=1-

x³

，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2）上递减，由（1）知f（x）???（2，+∞）上递增，
则①当2^m+1≤2，即m≤0时，值域为[f(2^m+1)，f(2^m)]=[2^m+1+

2^2m

，2^m+

2^2m

]；
②当2^m≥2，即m≥1时，值域为[f(2^m)，f(2^m+1)]=[2^m+

2^2m

，2^m+1+

2^2m

]；
③当2^m＜2＜2^m+1，即0＜m＜1时，函数最小值为f（2）=3，
最大值为f（2^m）与f（2^m+1）中的较大者，且f(2^m+1)-f(2^m)=2^m+1+

2^2m

-2^m-

2^2m

=2^m-

2^2m

，
当0＜m≤log₈3时，值域为[f(2)，f(2^m)]=[3，2^m+

2^2m

]；
当log₈3＜m＜1时，值域为[f(2)，f(2^m+1)]=[3，2^m+1+

2^2m

]．

标签

必修1 人教A版单选题高中数学

设f（x）=x+4x2（x＞0）．（1）判断并用定义证明函数f（x）在区间（2，+∞）上的单调性；（2）若m∈R，求函数f（x）在闭区间[2m，2m+1]上的值域．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

试题解答

集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题