已知函数f(x)=a?2x+a-22x+1是定义在R上的奇函数．（1）求a的值及f（x）的解析式；（2）判断f（x）在R上的单调性并用定义证明；（3）求f（x）在x∈[-1，2]上的最大值及最小值．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=

a?2^x+a-2

2^x+1

是定义在R上的奇函数．
（1）求a的值及f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在R上的单调性并用定义证明；
（3）求f（x）在x∈[-1，2]上的最大值及最小值．

见解析

解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（0）=0
∴f(0)=

a?+a-2

1+1

∴a=1 …（3分）
∴f(x)=

2^x-1

2^x+1

…（4分）
（2）f（x）在R上是增函数
证明：∵f(x)=1-

2^x+1

设x₁＜x₂，则f(x₁)-f(x₂)=

2^x₂+1

2^x₁+1

2(2^x₁-2^x₂)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

（7分）
∵x₁＜x₂，∴2^x₁＜2^x₂
∴

2(2^x₁-2^x₂)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是增函数． …（9分）
（3）由（2）知，f（x）在[-1，2]上是增函数 …（10分）
∴f（x）在[-1，2]上的最小值为f（-1）=-

，最大值为f（2）=

…（12分）

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