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  • 如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2、∠ADC=120°的菱形，Q是侧棱DD1（DD1＞√22）延长线上的一点，过点Q、A1、C1作菱形截面QA1PC1交侧棱BB1于点P．设截面QA1PC1的面积为S1，四面体B1-A1C1P的三侧面△B1A1C1、△B1PC1、△B1A1P面积的和为S2，S=S1-S2．（Ⅰ）证明：AC⊥QP；（Ⅱ）当S取得最小值时，求cos∠A1QC1的值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2、∠ADC=120°的菱形，Q是侧棱DD1（DD1＞
      √2
      2
      ）延长线上的一点，过点Q、A1、C1作菱形截面QA1PC1交侧棱BB1于点P．设截面QA1PC1的面积为S1，四面体B1-A1C1P的三侧面△B1A1C1、△B1PC1、△B1A1P面积的和为S2，S=S1-S2．
      （Ⅰ）证明：AC⊥QP；
      （Ⅱ）当S取得最小值时，求cos∠A      1QC1的值．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）连AC、BD，则AC⊥BD；
      ∵PB⊥底面ABCD，则AC⊥BP，∴AC⊥平面QPBD．
      而QP?平面QPBD，∴AC⊥QP．（4分）

      （Ⅱ）设O是A      1C1与QP的交点，QD1=x、QO=y，则x2+1=y2，S=S1-S2
      =2×
      1
      2
      ×2
      √3
      y-(
      1
      2
      ×2
      √3
      +2×
      1
      2
      ×2x)=2
      √3
      y-
      √3
      -2x=2(
      √3(x2+1)
      -x)-
      √3
      ．（8分）
      ∵令m=
      √3(x2+1)
      -x，则m2=(
      √3(x2+1)
      -x)2=(
      √3
      x-
      √x2+1
      )2+2，
      ∴当
      √3
      x=
      √x2+1
      即x=
      √2
      2
      时，S取得最小值．（11分）
      此时，QC      1=QA1=
      3
      √2
      2
      ，由余弦定理有cos∠A1QC1=
      QC12+QA12-A1C21
      2QC1×QA1
      =-
      1
      3
      ．（13分）
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      必修2人教A版解答题高中数学

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