在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1=√3BB1．（1）求证：AB1⊥BC1；（2）求二面角A-BC1-C的正切值．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁=

√3

BB₁．
（1）求证：AB₁⊥BC₁；
（2）求二面角A-BC₁-C的正切值．

见解析

（1）证法一：如图，取BC的中点M，
连接B₁M、BC₁交于N，则AM⊥面BC₁．
下证BC₁⊥B₁M．设BB₁=1，则AB₁=

√3

，AB=BC=

√2

，
∴tan∠B₁MB=

√2

=tan∠B₁BC₁．
∴得△B₁MB∽△B₁BN．
∴∠B₁BM=90°=∠B₁NB，即BC₁⊥B₁M．
∴BC₁⊥斜线AB₁．
证法二：如图，取B₁C₁和B₁B的中点E与D，
连接ED，则DE∥BC₁．再取AB的中点G，

连接DG，则DG∥AB₁，
∴∠GDE为异面直线AB₁、BC₁所成的角．
下用勾股定理证明∠GDE为直角．取A₁B₁的中点F，
连接EF、EG、FG，则EG=

√EF²+FG²

且DE、DG均可表示出．
故可知EG²=DE²+DG²，∴∠GDE=90°．
（2）解：连接AN，则∠ANM为所求二面角的平面角，tan∠ANM=3．

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