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  • （2009?西城区二模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=1，AA1=2，D、E分别是AA1、B1C的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求异面直线A1C1与B1D所成角的大小；（Ⅲ）求二面角C-B1D-B的大小．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2009?西城区二模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=1，AA1=2，D、E分别是AA1、B1C的中点．
      （Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
      （Ⅱ）求异面直线A      1C1与B1D所成角的大小；
      （Ⅲ）求二面角C-B      1D-B的大小．

      试题解答

      见解析
      （Ⅰ）证明：如图，设G为BC的中点，连接EG，AG，
      在△BCB      1中，∵BG=GC，B1E=EC，∴EG∥BB1，且EG=
      1
      2
      BB1，
      又AD∥BB      1，且AD=
      1
      2
      BB1，∴EG∥AD，EG=AD，
      ∴四边形ADEG为平行四边形，∴DE∥AG，
      又AG?平面ABC，DE?平面ABC，∴DE∥平面ABC．

      （Ⅱ）解：如图，设F为BB      1的中点，连接AF，CF，
      ∵直三棱柱ABC-A      1B1C1，且D是AA1的中点，
      ∴AF∥B      1D，A1C1∥AC，∴∠CAF为异面直线A1C1与B1D所成的角或其补角．
      在Rt△ABF中，BF⊥AB，AB=1，BF=1，
      ∴AF=
      √AB2+BF2
      =
      √2
      ，同理CF=
      √2
      ，
      在△ABC中，∵AB⊥BC，AB=BC=1，∴AC=
      √2
      ，
      在△ACF中，∵AC=AF=CF，∴∠CAF=60°．
      ∴异面直线A      1C1与B1D所成的角为60°．

      （Ⅲ）解：∵直三棱柱ABC-A      1B1C1，∴B1B⊥BC，
      又AB⊥BC，AB∩BB      1=B，∴BC⊥平面ABB1D．
      如图，连接BD，
      在△BB      1D中，∵BD=B1D=
      √2
      ， BB1=2，
      ∴BD      2+B1D2=BB12，即BD⊥B1D，
      ∵BD是CD在平面ABB      1D内的射影，
      ∴CD⊥B      1D，∴∠CDB为二面角C-B1D-B的平面角．
      在△BCD中，∠CBD=90°，BC=1，BD=
      √2
      ，
      ∴tan∠CDB=
      BC
      BD
      =
      √2
      2
      ，∴二面角C-B1D-B的大小为arctan
      √2
      2
      ．
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