一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中正视图和俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形，M、G分别是AB、DF的中点．（1）求证：CM⊥平面FDM；（2）在线段AD上确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明；（3）求直线DM与平面ABEF所成的角．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中正视图和俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形，M、G分别是AB、DF的中点．

（1）求证：CM⊥平面FDM；
（2）在线段AD上确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明；
（3）求直线DM与平面ABEF所成的角．

见解析

解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=a
（1）显然FD⊥平面ABCD，
又CM?平面ABCD，
∴FD⊥CM（2分）
在矩形ABCD中，CD=2a，AD=a，
M为AB中点，DM=CM=

√2

a，
∴CM⊥DM
∵FD?平面FDM，DM?平面FDM，
∴CM⊥平面FDM，（4分）
（2）点P在A点处，（5分）
证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA
∵G是DF的中点，GS∥FC，AS∥CM
∴面GSA∥面FMC，
而GA?面GSA，∴GP∥平面FMC（9分）

（3）在平面ADF上，过D作AF的垂线．
垂足为H，连DM，
则DH⊥平面ABEF，
∠DMH是DM与平面ABEF所成的角???12分）
在Rt△DHM中，DH=

√2

a，DM=

√2

a
∴sin∠DMH=

∴∠DMH=

．
所以DM与平面ABEF所成的角为

．（14分）

标签