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  • 已知A（-2，0），B（2，0），C（m，n）．（1）若m=1，n=，求△ABC的外接圆的方程；（2）若以线段AB为直径的圆O过点C（异于点A，B），直线x=2交直线AC于点R，线段BR的中点为D，试判断直线CD与圆O的位置关系，并证明你的结论．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知A（-2，0），B（2，0），C（m，n）．
      （1）若m=1，n=      ，求△ABC的外接圆的方程；
      （2）若以线段AB为直径的圆O过点C（异于点A，B），直线x=2交直线AC于点R，线段BR的中点为D，试判断直线CD与圆O的位置关系，并证明你的结论．

      试题解答

      见解析
      （1）法1：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
      由题意可得      ，解得D=E=0，F=-4，
      ∴△ABC的外接圆方程为x      2+y2-4=0，即x2+y2=4．-----------------（6分）
      法2：线段AC的中点为（-      ，），直线AC的斜率为k1=，
      ∴线段AC的中垂线的方程为y-      =-（x+），
      线段AB的中垂线方程为x=0，
      ∴△ABC的外接圆圆心为（0，0），半径为r=2，
      ∴???ABC的外接圆方程为x      2+y2=4．-----------------（6分）
      法3：∵|OC|=      =2，而|OA|=|OB|=2，
      ∴△ABC的外接圆是以O为圆心，2为半径的圆，
      ∴△ABC的外接圆方程为x      2+y2=4．-----------------（6分）
      法4：直线AC的斜率为k      1=，直线BC的斜率为k2=-，
      ???k      1?k2=-1，即AC⊥BC，
      ∴△ABC的外接圆是以线段AB为直径的圆，
      ∴△ABC的外接圆方程为x      2+y2=4．-----------------（6分）
      （2）由题意可知以线段AB为直径的圆的方程为x      2+y2=4，设点R的坐标为（2，t），
      ∵A，C，R三点共线，
      ∴      ∥，----------------（8分）
      而      =（m+2，n），=（4，t），则4n=t（m+2），
      ∴t=      ，
      ∴点R的坐标为（2，      ），点D的坐标为（2，），-----------------（10分）
      ∴直线CD的斜率为k=      ==，
      而m      2+n2=4，∴m2-4=-n2，
      ∴k=      =-，-----------------（12分）
      ∴直线CD的方程为y-n=-      （x-m），化简得mx+ny-4=0，
      ∴圆心O到直线CD的距离d=      ==2=r，
      所以直线CD与圆O相切．-----------------（14分）
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