已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y-2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（1）设Q为⊙C上的一个动点，求?的最小值；（2）过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？并说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）²+（y-2）²=r²（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．
（1）设Q为⊙C上的一个动点，求

的最小值；
（2）过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？并说明理由．

见解析

（1）设圆心C（a，b），半径为r，则由题意可得

，求得

．
再由r=|CP|=

，可得圆C的方程为 x²+y²=2．
设Q（x，y），由于点M（-2，2），∴

=（x-1，y-1）?（x+2，y+2）=x²+y²+x+y-4=x+y-2．
令x=

cosθ，y=

sinθ，则 x+y-2=2sin（θ+

）-2，故它的最小值为-2-2=-4．
（2）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，
故可设PA：y-1=k（x-1），PB：y-1=-k（x-1），由

，求得（1+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0．
因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得 x_A=

．
同理，x_B=

，所以K_AB=

=1=k_OP，
所以，直线AB和OP一定平行．

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