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  • 在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C：x2a2+y2b2=1 (a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为103．（1）求椭圆C的方程；（2）设Q（t，m）是直线x=9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标；（3）实际上，第（2）小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线，请你对抛物线y2=2px（p＞0）写出一个更一般的结论，并加以证明．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C：
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1 (a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为
      10
      3
      ．
      （1）求椭圆C的方程；
      （2）设Q（t，m）是直线x=9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN
      必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标；
      （3）实际上，第（2）小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线，请你对抛物线y      2=2px（p＞0）写出一个更一般的结论，并加以证明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）依题意，椭圆过点（2，
      5
      3
      ），故
      4
      a2
      +
      25
      9b2
      =1，a2-b2=4，解得a2=9，b2=5，故椭圆C的方程为
      x2
      9
      +
      y2
      5
      =1．
      （2）设Q（9，m），直线QA的方程为y=
      m
      12
      （x+3），代入椭圆方程，整理得（80+m2）x2+6x+9m2-720=0，
      设M（x      1，y1），则-3x1=
      9m2-720
      80+m2
      ，解得x1=
      240-3m2
      80+m2
      ，y1=
      m
      12
      （x1+3）=
      40m
      80+m2
      ，故点M的坐标为（
      240-3m2
      80+m2
      ，
      40m
      80+m2
      ）．
      同理，直线QB的方程为y=
      m
      6
      （x-3），代入椭圆方程，整理得（20+m2）x2-6x+9m2-180=0，
      设N（x      2，y2），则3x2=
      9m2-180
      20+m2
      ，解得x2=
      3m2-60
      20+m2
      ，y2=
      m
      6
      （x1-3）=-
      20m
      20+m2
      ，故点M的坐标为（
      3m2-60
      20+m2
      ，-
      20m
      20+m2
      ）．
      ①若
      240-3m2
      80+m2
      =
      3m2-60
      20+m2
      ，解得m2=40，直线MN的方程为x=1，与x轴交与（1，0）点；
      ②若m      2≠40，直线MN的方程为y+
      20m
      20+m2
      =
      10m
      40-m2
      （x-
      3m2-60
      20+m2
      ），令y=0，解得x=1，．
      综???所述，直线MN必过x轴上的定点（1，0）．
      （3）结论：已知抛物线y      2=2px（p＞0）的顶点为O，P为直线x=-q（q≠0）上一动点，过点P作X轴的平行线与抛物线交于点M，直线OP与抛物线交于点N，则直线MN必过定点（q，0）．
      证明：设P（-q，m），则M（
      m2
      2p
      ，m），直线OP的方程为y=-
      m
      q
      x，代入y2=2px，得y2+
      2pq
      m
      y=0，可求得N（
      2pq2
      m2
      ，-
      2pq
      m
      ），
      直线MN的方程为y-m=
      2pm
      m2-2pq
      （x-
      m2
      2p
      ），令y=0，解得x=q，即直线MN必过定点（q，0）．
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