试题  
高中数学
小学

数学 语文 英语

初中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 思品

高中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 政治

  • 已知函数f（x）=ax3+x2-ax（a，x∈R）．（1）若函数f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，试求a的取值范围；（2）设函数h(x)=13f′(x)+(2a+13)x-83a+1(x∈(-1，b](b＞-1))，如果存在a∈（-∞，-1]，对任意x∈（-1，b]（b＞-1）都有h（x）≥0成立，试求b的最大值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ax3+x2-ax（a，x∈R）．
      （1）若函数f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，试求a的取值范围；
      （2）设函数h(x)=
      1
      3
      f′(x)+(2a+
      1
      3
      )x-
      8
      3
      a+1(x∈(-1，b](b＞-1))，如果存在a∈（-∞，-1]，对任意x∈（-1，b]（b＞-1）都有h（x）≥0成立，试求b的最大值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意知，f'（x）=3ax2+2x-a在区间（1，2）内有不重复的零点…（1分）
      由3ax      2+2x-a=0，得a（3x2-1）=-2x…（2分）
      ∵3x      2-1≠0，∴a=-
      2x
      3x2-1
      …（3分）
      令y=-
      2x
      3x2-1
      ，y′=
      6x2+2
      (3x2-1)2
      ＞0…（4分）
      故y=-
      2x
      3x2-1
      在区间（1，2）上是增函数，其值域为(-1，-
      4
      11
      )，
      ∴a的取值范围是(-1，-
      4
      11
      )…（6分）
      （2）∵h（x）=ax      3+（3a+1）x2+（2-a）x-a，
      由已知得：h（x）≥h（-1）在区间[-1，b]上恒成立，即（x+1）[ax      2+（2a+1）x+（1-3a）]≥0…①…（7分）
      当x=-1时，不等式①成立…（8分）
      当-1＜x≤b时，不等式①化为：ax      2+（2a+1）x+（1-3a）≥0…②…（9分）
      令φ（x）=ax      2+（2a+1）x+（1-3a），由于二次函数φ（x）的图象是开口向下的抛物线，
      故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得，又φ（-1）=-4a＞0…（10分）
      ∴不等式②恒成立的充要条件是φ（b）≥0，即ab      2+（2a+1）b+（1-3a）≥0，
      b2+2b-3
      b+1
      ≤-
      1
      a
      ，
      ∵这个关于a的不等式在区间（-∞，-1]上有解，
      ∴
      b2+2b-3
      b+1
      ≤(-
      1
      a
      )max，即
      b2+2b-3
      b+1
      ≤1，∴b2+b-4≤0…（11分）
      ∴
      -1-
      √17
      2
      ≤b≤
      -1+
      √17
      2
      ，又b＞-1，故-1＜b≤
      -1+
      √17
      2
      …（12分）
      从而      bmax=
      -1+
      √17
      2
      ，此时唯有a=-1符合条件…（14分）
      标签
      选修2-2北师大版解答题高中数学

    利用导数求闭区间上函数的最值相关试题

    MBTS ©2010-2016 edu.why8.cn