已知函f（x）=ln x，g（x）=12ax2+bx（a≠0）．（1）若a=-2时，函h（x）=f（x）-g（x），在其定义域是增函数，求b的取值范围；（2）在（1）的结论下，设函数φ（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；（3）当a=-2，b=4时，求证2x-f（x）≥g（x）-3．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知函f（x）=ln x，g（x）=

ax²+bx（a≠0）．
（1）若a=-2时，函h（x）=f（x）-g（x），在其定义域是增函数，求b的取值范围；
（2）在（1）的结论下，设函数φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；
（3）当a=-2，b=4时，求证2x-f（x）≥g（x）-3．

见解析

解：（1）依题意：h（x）=ln x+x²-bx，h（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴h′（x）=

+2x-b≥0对x∈（0，+∞）恒成立，
∴b≤

+2∵x＞0，则

+2x≥2（当x═

√2

时取等号）．
∴b的取值范围为（-∞，2

√2

]．

（2）设t=e^x，则函数化为y=t²+bt，t∈[1，2]，∵y=（t+

）²-

b²

，
∴①当-

≤1，即-2≤b≤2

√2

时，函数y在[1，2]上为增函数，
当t=1时，y_min=b+1．
②当1＜-

＜2，即-4＜b＜-2时，当t=-

时，y_min=-

b²

．
③当-

≥2，即b≤4时，函数y在[1，2]上为减函数，当t=2时，y_min=-4+2b．
综上所述，当-2≤-

≤2

√2

时，φ（x）_min=b+1；
当-4＜b＜-2时，φ（x）_min=-

b²

；
当b≤4时，φ（x）_min=4+2b．
（3）要证2xlnx≥-x2+4x-3，只要证4≤2lnx+x+

，
设h（x）=2lnx+x+

（x＞0），则h′（x）=

(x+3)(x-1)

x²

，
x∈（0，1），h′（x）＜0，∴h（x）单调递减；
x∈（1，+∞），h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）_min=h（1）=4，
∴对一切x∈（0，+∞），2x-f（x）≥g（x）-3恒成立．

标签