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  • 已知函数f(x)=1-xax+lnx，（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为递增函数，求正实数a的取值范围；（2）当a=1时，求函数f（x）在[12，2]上的最大值和最小值；（3）试比较ln2222+ln3232+…+lnn2n2与(n-1)(2n+1)2(n+1)的大小，并说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      1-x
      ax
      +lnx，
      （1）若函数f（x）在[1，+∞）上为递增函数，求正实数a的取值范围；
      （2）当a=1时，求函数f（x）在[
      1
      2
      ，2]上的最大值和最小值；
      （3）试比较
      ln22
      22
      +
      ln32
      32
      +…+
      lnn2
      n2
      与
      (n-1)(2n+1)
      2(n+1)
      的大小，并说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由f′(x)=
      ax-1
      ax2
      ≥0(a＞0)，可得x≥
      1
      a
      ，∴函数f（x）在[
      1
      a
      ，+∞)递增，
      ∵函数f（x）在[1，+∞）上为递增函数
      ∴[1，+∞）是[
      1
      a
      ，+∞)的子集，
      ∴
      1
      a
      ≤ 1
      ∵a＞0，∴a≥1．
      （2）当a=1，由（1）的函数f（x）在[
      1
      2
      ，1]上递减，在[1，2]上递增．
      则y      min=f（1）=2；
      又因为f(
      1
      2
      )=3-ln2，f(2)=ln2+
      3
      2
      ，
      ∴f(
      1
      2
      )＞f(2)
      ∴      ymax=f(
      1
      2
      )=3-ln2．
      （3）令a=1，
      由（1）得f(x)=
      1
      x
      +1+lnx≥2?
      1
      x
      -1-ln
      1
      x
      ≥0?lnt≤t-1（当且仅当t=1时等号成立），
      两边同除t（t＞0）得
      lnt
      t
      ≤1-
      1
      t
      ，
      令t=n      2，
      可得
      lnn2
      n2
      ≤1-
      1
      n2
      ＜1-
      1
      n(n+1)
      =1-(
      1
      n
      -
      1
      n+1
      )
      由累加法得
      ln22
      22
      +
      ln32
      32
      +…+
      lnn2
      n2
      ＜(n-1)-[
      1
      2
      -
      1
      3
      +
      1
      3
      -
      1
      4
      +…+
      1
      n
      -
      1
      n+1
      ]=
      (n-1)(2n+1)
      2(n+1)
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