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设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=exx，f（2）=e28，则x＞0时，f（x）（）试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设函数f（x）满足x²f′（x）+2xf（x）=

e^x

x

，f（2）=

e²

8

，则x＞0时，f（x）（　　）

试题解答

D

解：∵函数f（x）满足x²f′(x)+2xf(x)=

e^x

x

，
∴[x²f(x)]′=

e^x

x

∴x＞0时，x²f(x)=∫

^+∞

₀

e^x

x

dx
∴f(x)=

∫

^+∞

₀

e^x

x

dx

x²

∴f′(x)=

e^x-2∫

^+∞

₀

e^x

x

dx

x³

令g（x）=e^x-2∫

^+∞

₀

e^x

x

dx，则g′(x)=e^x-

2e^x

x

=e^x(1-

2

x

)
令g′（x）=0，则x=2，∴x∈（0，2）时，g′（x）＜0，函数单调递减，x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，函数单调递增
∴g（x）在x=2时取得最小值
∵f（2）=

e²

8

，∴g（2）=e²-2×4×

e²

8

=0
∴g（x）≥g（2）=0
∴f′(x)=

e^x-2∫

^+∞

₀

e^x

x

dx

x³

≥0
即x＞0时，f（x）单调递增
∴f（x）既无极大值也无极小值
故选D．

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选修1-1 北师大版单选题高中数学

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