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  • 已知函数f(x)=13ax3+12bx2+cx．（Ⅰ）若函数f（x）有三个零点x1，x2，x3，且x1+x2+x3=92，x2x3=6，f(-1)=56，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f′(1)=-12a，3a＞2c＞2b，求证：导函数f'（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若导函数f'（x）的两个零点之间的距离不小于√3，求ba的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      1
      3
      ax3+
      1
      2
      bx2+cx．
      （Ⅰ）若函数f（x）有三个零点x      1，x2，x3，且x1+x2+x3=
      9
      2
      ，x2x3=6，f(-1)=
      5
      6
      ，求函数f（x）的单调区间；
      （Ⅱ）若f′(1)=-
      1
      2
      a，3a＞2c＞2b，求证：导函数f'（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
      （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若导函数f'（x）的两个零点之间的距离不小于
      √3
      ，求
      b
      a
      的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（I）因为f(x)=x(
      1
      3
      ax2+
      1
      2
      bx+c)，又x1+x2+x3=
      9
      2
      ，x2x3=6，则x1=0，x2+x3=
      9
      2
      ，x2x3=6．
      因为x      2，x3是方程
      1
      3
      ax2+
      1
      2
      bx+c=0的两根，则-
      3b
      2a
      =
      9
      2
      ，
      3c
      a
      =6．即b=-3a，c=2a．
      又f(1)=
      5
      6
      ，即
      1
      3
      a+
      1
      2
      b+c=
      5
      6
      ，所以，
      1
      3
      a-
      3
      2
      a+2a=
      5
      6
      ，即a=1，从而b=-3，c=2．
      所以，f(x)=
      1
      3
      x3-
      3
      2
      x2+2x． 因为f'（x）=x2-3x+2，由x2-3x+2＜0，得1＜x＜2．
      故f（x）的单调递减区间是（1，2），单调递增区间是（-∞，1），（2+∞）．
      （Ⅱ）因为f'（x）=ax      2+bx+c，f′(1)=-
      1
      2
      a，所以a+b+c=-
      1
      2
      a，即3a+2b+2c=0．
      因为3a＞2c＞2b，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0，b＜0．
      于是f′(1)=-
      a
      2
      ＜0，f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．
      （1）当c＞0时，因为f′(0)=c＞0，f′(1)=-
      a
      2
      ＜0，则f'（x）在区间（0，1）内至少有一个零点．
      （2）当c≤0时，因为f′(1)=-
      a
      2
      ＜0，f′(2)=a-c＞0，则f'（x）在区间（1，2）内至少有一零点．
      故导函数f'（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．
      （Ⅲ）设m，n是导函数f'（x）=ax      2+bx+c的两个零点，则m+n=-
      b
      a
      ，mn=
      c
      a
      =-
      3
      2
      -
      b
      a
      ．
      所以|m-n|=
      √(m+n)2-4mn
      =
      √(-
      b
      a
      )2-4(-
      3
      2
      -
      b
      a
      )
      =
      √(
      b
      a
      +2)2+2
      ．
      由已知，
      √(
      b
      a
      +2)2+2
      ≥
      √3
      ，则(
      b
      a
      +2)2+2≥3，即(
      b
      a
      +2)2≥1．
      所以
      b
      a
      +2≥1或
      b
      a
      +2≤-1，即
      b
      a
      ≥-1或
      b
      a
      ≤-3．
      又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以，3a＞-3a-2b＞2b，即 -3a＜b＜-
      3
      4
      a．
      因为a＞0，所以-3＜
      b
      a
      ＜-
      3
      4
      ．
      综上分析，
      b
      a
      的取值范围是[-1，-
      3
      4
      )．
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