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已知数列{an}中,a1=1,an+an+1=2n(n∈N*),bn=3an.(I)试证数列{an-13×2n}是等比数列,并求数列{bn}的通项公式;(II)在数列{bn}是,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若不存在,说明理由.(III)试证在数列{bn}中,一定存在满足条件1<r<s的正整数r,s,使得b1,br,bs成等差数列;并求出正整数r,s之间的关系.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
已知数列{a
n
}中,a
1
=1,a
n
+a
n+1
=2
n
(n∈N
*
),b
n
=3a
n
.
(I)试证数列{a
n
-
1
3
×2
n
}是等比数列,并求数列{b
n
}的通项公式;
(II)在数列{b
n
}是,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若不存在,说明理由.
(III)试证在数列{b
n
}中,一定存在满足条件1<r<s的正整数r,s,使得b
1
,b
r
,b
s
成等差数列;并求出正整数r,s之间的关系.
试题解答
见解析
(I)证明:由a
n
+a
n+1
=2
n
,得a
n+1
=2
n
-a
n
,所以
a
n+1
-
1
3
×2
n+1
a
n
-
1
3
×2
n
=
2
n
-a
n
-
1
3
×2
n+1
a
n
-
1
3
×2
n
=-1
又因为a
1
-
2
3
=
1
3
,所以数列{a
n
-
1
3
×2
n
}是首项为
1
3
,公比为-1的等比数列.
所以a
n
-
1
3
×2
n
=
1
3
×(-1)
n-1
,即a
n
=
1
3
[2
n
-(-1)
n
],所以b
n
=2
n
-(-1)
n
. (5分)
(II)解:假设在数列{b
n
}中,存在连续三项b
k-1
,b
k
,b
k+1
(k∈N
*
,k≥2)成等差数列,则b
k-1
+b
k+1
=2b
k
,
即[2
k-1
-(-1)
k-1
]+[2
k+1
-(-1)
k+1
]=2[2
k
-(-1)
k
],即2
k-1
=4(-1)
k-1
.
①若k为偶数,则2
k-1
>0,4(-1)
k-1
=-4<0,所以,不存在偶数k,使得b
k-1
,b
k
,b
k+1
成等差数列.(7分)
②若k为奇数,则当k≥3时,2
k-1
≥4,而4(-1)
k-1
=4,所以,当且仅当k=3时,b
k-1
,b
k
,b
k+1
成等差数列.
综上所述,在数列{b
n
}中,有且仅有连续三项b
2
,b
3
,b
4
成等差数列.(9分)
(III)证明:要使b
1
,b
r
,b
s
成等差数列,只需b
1
+b
s
=2b
r
,
即3+2
s
-(-1)
s
=2[2
r
-(-1)
r
],即2
s
-2
r+1
=(-1)
s
-2(-1)
r
-3,(﹡) (10分)
①若s=r+1,在(﹡)式中,左端2
s
-2
r+1
=0,
右端(-1)
s
-2(-1)
r
-3=(-1)
s
+2(-1)
s
-3=3(-1)
s
-3,
要使(﹡)式成立,当且仅当s为偶数时.又s>r>1,且s,r为正整数,
所以当s为不小于4的正偶数,且s=r+1时,b
1
,b
r
,b
s
成等差数列.(12分)
②若s≥r+2时,在(﹡)式中,左端2
s
-2
r+1
≥2
r+2
-2
r+1
=2
r+1
,
由(II)可知,r≥3,所以r+1≥4,所以左端2
s
-2
r+1
≥16(当且仅当s为偶数、r为奇数时取“=”);右端(-1)
s
-2(-1)
s
-3≤0.所以当s≥r+2时,b
1
,b
r
,b
s
不成等差数列.
综上所述,存在不小于4的正偶数s,且s=r+1,使得b
1
,b
r
,b
s
成等差数列. (14分)
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解答题
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数学
函数与方程的综合运用
相关试题
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