见解析
(1)解:令m=n=0,
f(m+n)=f(m)+f(n),由f(m+n)=f(m)+f(n),得f(0)=f(0)+f(0),
所以f(0)=0.
(2)证明:设x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[(x2-x1)+x1]
=f(x1)-[f(x2-x1)+f(x1)]
=-f(x2-x1),
因为当x>0时,有f(x)>0,且x2-x1>0,所以f(x2-x1)>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
故函数f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.
(3)解:由f(1)=1及已知,得2=f(1)+f(1)=f(2),
所以不等式f(4x-2x)<2等价于f(4x-2x)<f(2).
由(2)知f(x)为R上的增函数,所以有4x-2x<2,
不等式f(4x-2x)<2即(2x)2-2x-2<0,则(2x+1)(2x-2)<0,
所以2x<2,解得x<1.
故不等式f(4x-2x)<2的解集为{x|x<1}.