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  • 已知集合M是满足下列性质函数的f（x）的全体，在定义域D内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．（1）函数f（x）=1x，g（x）=x2是否属于集合M？分别说明理由．（2）若函数f（x）=lgax2+1属于集合M，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知集合M是满足下列性质函数的f（x）的全体，在定义域D内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．
      （1）函数f（x）=
      1
      x
      ，g（x）=x2是否属于集合M？分别说明理由．
      （2）若函数f（x）=lg
      a
      x2+1
      属于集合M，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）对于函数f（x）=
      1
      x
      ，D=（-∞，0）∪（0，+∞），若f（x）∈M，
      则存在非零实数x      0，使得
      1
      x0+1
      =
      1
      x0
      +1，即x02+x0+1=0，显然此方程无实数解，
      ∴f（x）?M；
      函数g（x）=x      2，D=R，若g（x）∈M成立，
      则有      (x0+1)2=x02+1，解得x0=0，
      ∴g（x）∈M；
      （2）由条件得：D=R，a＞0，由f（x）∈M知，
      存在实数x      0，使得lg
      a
      (x0+1)2+1
      =lg
      a
      x02+1
      +lg
      a
      2
      ，
      ∴
      a
      (x0+1)2+1
      =
      a
      x02+1
      ?
      a
      2
      ，
      化简得：（a-2）      x02+2ax0+2a-2=0，
      当a=2时，x      0=-
      1
      2
      ，符号题意；
      当a≠2时，由△≥0得：4a      2-4（a-2）（2a-2）≥0，
      即3-
      √5
      ≤a≤3+
      √5
      （a≠2），
      综上所述，a的取值范围是[3-
      √5
      ，3+
      √5
      ]．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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