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  • 已知函数f（x）的定义域为R，对任意的实数m，n都有f（m+n）=f（m）+f（n）+12且f（12）=0，当x＞12时，f（x）＞0（1）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；（2）若对任意实数x，不等式f（ax2+ax+1）≥f（2x2+2x）恒成立，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）的定义域为R，对任意的实数m，n都有f（m+n）=f（m）+f（n）+
      1
      2
      且f（
      1
      2
      ）=0，当x＞
      1
      2
      时，f（x）＞0
      （1）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；
      （2）若对任意实数x，不等式f（ax      2+ax+1）≥f（2x2+2x）恒成立，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f（x）单调递增，证明如下：
      任取x      1，x2∈R，且x1＜x2，
      则令x      2=x1+t（t＞0），
      则f（x      2）-f（x1）=f（x1+t）-f（x1）
      =f（x      1）+f（t）+
      1
      2
      -f（x1）=f（t+
      1
      2
      -
      1
      2
      ）+
      1
      2
      =f（t+
      1
      2
      ）+f（-
      1
      2
      ）+1，
      ∵f（m+n）=f（m）+f（n）+
      1
      2
      且f（
      1
      2
      ）=0，
      令m=n=0得f（0）=-
      1
      2
      ；
      令m=-
      1
      2
      ，n=
      1
      2
      可得f（-
      1
      2
      ）=-1，
      ∴f（t+
      1
      2
      ）+f（-
      1
      2
      ）+1=f（t+
      1
      2
      ），
      ∵t＞0，
      ∴t+
      1
      2
      ＞
      1
      2
      ，则f（t+
      1
      2
      ）＞0，
      ∴f（x      2）＞f（x1），故f（x）再R上为单调递增函数．
      （2）∵f（ax      2+ax+1）≥f（2x2+2x）恒成立，f（x）为R上单调递增函数，
      ∴ax      2+ax+1≥2x2+2x恒成立，
      即（a-2）x      2+（a-2）x+1≥0恒成立，
      当a=2时，有1≥0恒成立，
      故a=2符合题意；
      当a≠2时，应有
      {
      a-2＞0
      △=(a-2)2-4(a-2)≤0
      ，
      解得：2＜a≤6，
      综上所述，实数a的取值范围是[2，6]．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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