若定义在R上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+1；②当x＜0时，f（x）＞-1．（1）试判断函数f（x）+1的奇偶性；（2）试判断函数f（x）的单调性；（3）若不等式f(a2+a-5)+32＞0的解集为{a|-3＜a＜2}，求f（4）的值．试题及答案-单选题-云返教育

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若定义在R上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+1；②当x＜0时，f（x）＞-1．
（1）试判断函数f（x）+1的奇偶性；
（2）试判断函数f（x）的单调性；
（3）若不等式f(a²+a-5)+

＞0的解集为{a|-3＜a＜2}，求f（4）的值．

试题解答

见解析

解：（1）令x=y=0得f（0）=-1，
再令y=-x，f（0）=f（x）+f（-x）+1=-1，
∴f（-x）+1=-[f（x）+1]，
∴y=f（x）+1是奇函数；
（2）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）
=f（x₂-x₁）+f（x₁）+1-f（x₁）
=f（x₂-x₁）+1
=-[f（x₁-x₂）+1]，
∵x₁-x₂＜0时，f（x₁-x₂）＞-1，
∴f（x₁-x₂）+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
即：f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；
（3）∵f（a²+a-5）＞-

=f（m），
由（2）知：a²+a-5＜m的解集为（-3，2），
∴m=1，即f（1）=-

，
∴f（2）=-2，f（4）=-3．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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