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已知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件:①x1、x2、x1-x2是定义域中的数时,有f(x1-x2)=f(x1)f(x2)+1f(x2)-f(x1);②f(a)=-1(a>0,a是定义域中的一个数);③当0<x<2a时,f(x)<0.(1)判断f(x1-x2)与f(x2-x1)之间的关系,并推断函数f(x)的奇偶性;(2)判断函数f(x)在(0,2a)上的单调性,并证明;(3)当函数f(x)的定义域为(-4a,0)∪(0,4a)时, ①求f(2a)的值;②求不等式f(x-4)<0的解集.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件:
①x
1
、x
2
、x
1
-x
2
是定义域中的数时,有f(x
1
-x
2
)=
f(x
1
)f(x
2
)+1
f(x
2
)-f(x
1
)
;
②f(a)=-1(a>0,a是定义域中的一个数);
③当0<x<2a时,f(x)<0.
(1)判断f(x
1
-x
2
)与f(x
2
-x
1
)之间的关系,并推断函数f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)在(0,2a)上的单调性,并证明;
(3)当函数f(x)的定义域为(-4a,0)∪(0,4a)时,
①求f(2a)的值;②求不等式f(x-4)<0的解集.
试题解答
见解析
解:(1)不妨令x=x
1
-x
2
,则f(-x)=f(x
2
-x
1
)=
f(x
2
)f(x
1
)+1
f(x
1
)-f(x
2
)
=-
f(x
1
)f(x
2
)+1
f(x
2
)-f(x
1
)
=-f(x
1
-x
2
)=-f(x),
∴f(x)是奇函数;
(2)在(0,2a)上任取两个实数x
1
、x
2
,
且x
1
<x
2
,则有f(x
1
)-f(x
2
)=
f(x
2
)f(x
1
)+1
f(x
2
-x
1
)
,
∵0<x<2a时,f(x)<0,
∴f(x
2
)<0且f(x
1
)<0,
故f(x
2
)f(x
1
)>0,
即f(x
2
)f(x
1
)+1>0;
∵0<x
1
<2a,0<x
2
<2a且x
1
<x
2
,∴0<x
2
-x
1
<2a,
即有f(x
2
-x
1
)<0;
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,
即f(x
1
)<f(x
2
),
∴f(x)在(0,2a)上是增函数;
(3)①由题意可得:f(2a)=f[a-(-a)]=
f(a)f(-a)+1
f(-a)-f(a)
=
1-f
2
(a
)
-2f(a)
=
1-1
2
=0,
②∵f(2a-x)=
f(2a )f(x
)+1
f(x
)-f(2a)
=
1
f(x)
,f(2a+x)=
f(2a )f(-x
)+1
f(-x
)-f(2a)
=
1
f(-x)
=-
1
f(x)
∴f(2a-x)=-f(2a+x)
∴函数关于(2a,0)对称
由(2)知f(x)在(0,2a)上是增函数;
∴f(x)在(2a,4a)上也是增函数,
∴f(x)在(0,4a)上是增函数;在(-4a,0)上也是增函数
当x-4∈(0,4a)时,f(x-4)<0?f(x-4)<f(2a)?x-4<2a,
∴0<x-4<2a,即4<x<2a+4
当x-4∈(-4a,0)时,f(x-4)<0?f(x-4)<f(-2a)?x-4<-2a,
∴-4a<x-4<-2a,即4-4a<x<4-2a
所以不等式的解集是(4-4a,4-2a)∪(4,2a+4).
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