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  • 已知函数f(x)=|1x-3|，x∈（0，+∞）（1）画出y=f（x）的大致图象，并根据图象写出函数y=f（x）的单调区间；（2）设0＜a＜19，b＞13试比较f（a），f（b）的大小．（3）是否存在实数a，b，使得函数y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=|
      1
      x
      -3|，x∈（0，+∞）
      （1）画出y=f（x）的大致图象，并根据图象写出函数y=f（x）的单调区间；
      （2）设0＜a＜
      1
      9
      ，b＞
      1
      3
      试比较f（a），f（b）的大小．
      （3）是否存在实数a，b，使得函数y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由y=
      1
      x
      ，x∈（0，+∞）的图象向下平移3个单位，再把x轴下方的翻折到x轴上方，可得y=f（x）的大致图象
      如图所示
      函数y=f（x）的单调减区间为（0，
      1
      3
      ），单调增区间为（
      1
      3
      ，+∞）；
      （2）由题意，f（a）=
      1
      a
      -3，f（b）=3-
      1
      b

      ∵0＜a＜
      1
      9
      ，b＞
      1
      3

      ∴
      1
      a
      ＞9，0＜
      1
      b
      ＜3
      ∴f（a）＞6，0＜f（b）＜3
      ∴f（a）＞f（b）；
      （3）不存在实数a，b满足条件．
      假设存在实数a，b，使得y=f（x）的定义域和值域都是[a，b]，而y≥0，x≠0，所以应有a＞0
      又f（x）=
      {
      1
      x
      -3，0＜x＜
      1
      3
      3-
      1
      x
      ，x＞
      1
      3

      ①当a，b∈（0，
      1
      3
      ）时，函数在（0，
      1
      3
      ）上为减函数，
      故有
      {
      f(a)=b
      f(b)=a
      ，即
      {
      1
      a
      -3=b
      1
      b
      -3=a
      ，由此可得a=b，此时实数a，b的值不存在．
      ②当a，b∈（
      1
      3
      ，+∞）时，函数在（
      1
      3
      ，+∞）上为增函数，
      故有
      {
      f(a)=a
      f(b)=b
      ，即
      {
      1
      a
      -3=a
      1
      b
      -3=b
      ，由此可得a，b是方程x2+3x-1=0的根，所以x=
      -3±
      √13
      2
      ，不合题意，故此时实数a，b也不存在．
      ③当a∈（0，
      1
      3
      ），b∈（
      1
      3
      ，+∞）时，显然
      1
      3
      ∈[a，b]，而f（
      1
      3
      ）=0∈[a，b]不可能，此时a，b也不存在
      综上可知，适合条件的实数a，b不存在．
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