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如图,以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O,交矩形的对角线BD于点E,点F是BC边的中点,连接EF.(1)试判断直线EF与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若DC=2,EF=√3,P是⊙O上除E、C两点外的任意一点,则∠EPC的度数为 .试题及答案-填空题-云返教育
试题详情
如图,以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O,交矩形的对角线BD于点E,点F是BC边的中点,连接EF.
(1)试判断直线EF与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若DC=2,EF=
√
3
,P是⊙O上除E、C两点外的任意一点,则∠EPC的度数为
.
试题解答
120°
解:(1)直线EF与⊙O相切.理由如下:
如图,连接OE、OF.
∵OD=OE,
∴∠1=∠D.
∵点F是BC的中点,点O是DC的中点,
∴OF∥BD,
∴∠3=∠D,∠2=∠1,
∴∠2=∠3.
∴在△EFO与△CFO中,
{
OE=OC
∠2=∠3
OF=OF
,
∴△EFO≌△CFO(SAS),
∴∠FEO=∠FCO=90°,
∴直线EF与⊙O相切.
(2)如图,连接DF.
∵由(1)知,△EFO≌△CFO,
∴FC=EF=
√
3
.
∴BC=2
√
3
在直角△FDC中,tan∠D=
BC
DC
=
√
3
,
∴∠D=60°.
∵点E、P、C、D四点共圆,
∴∠EPC+∠D=180°,
∴∠EPC=120°.
故填:120°.
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