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  • 已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，过点A作直线MN⊥AC，点E是直线MN上的一个动点，（1）如图1，如果点E是射线AM上的一个动点（不与点A重合），连接CE交AB于点P．若AE为x，AP为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在射线AM上是否存在一点E，使以点E、A、P组成的三角形与△ABC相似，若存在求AE的长，若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B作BD⊥MN，垂足为D，以点C为圆心，若以AC为半径的⊙C与以ED为半径的⊙E相切，求⊙E的半径．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，过点A作直线MN⊥AC，点E是直线MN上的一个动点，
      （1）如图1，如果点E是射线AM上的一个动点（不与点A重合），连接CE交AB于点P．若AE为x，AP为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
      （2）在射线AM上是否存在一点E，使以点E、A、P组成的三角形与△ABC相似，若存在求AE的长，若不存在，请说明理由；
      （3）如图2，过点B作BD⊥MN，垂足为D，以点C为圆心，若以AC为半径的⊙C与以ED为半径的⊙E相切，求⊙E的半径．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵AM⊥AC，∠ACB=90°∴AM∥BC，
      ∴
      AE
      BC
      =
      AP
      BP
      ，（1分）
      ∵BC=6，AC=8，∴AB=10，（2分）
      ∵AE=x，AP=y，∴
      x
      6
      =
      y
      10-y
      ，
      ∴y=
      10x
      6+x
      （x＞0）；（4分）

      （2）假设在射线AM上存在一点E，使以点E、A、P组成的三角形与△ABC相似；
      ∵AM∥BC∴∠B=∠BAE，
      ∵∠ACB=90°，∠AEP≠90°，
      ∴△ABC∽△EAP，（6分）
      ∴
      AB
      BC
      =
      AE
      AP
      （7分）
      ∴
      10
      6
      =
      x
      10x
      6+x
      解得：x1=
      32
      3
      ，x2=0（舍去）（8分）
      ∴当AE的长为
      32
      3
      时，△ABC∽△EAP；

      （3）∵⊙C与⊙E相切，AE=x
      ①当点E在射线AD上，⊙C与⊙E外切时，ED=x-6，EC=x-6+8=x+2，
      在直角三角形AEC中，AC      2+AE2=EC2
      ∴x      2+82=（x+2）2解得：x=15∴⊙E的半径为9．（10分）
      ②当点E在线段AD上，⊙C与⊙E外切时，ED=6-x，EC=6-x+8=14-x，
      在直角三角形AEC中，AC      2+AE2=EC2，
      ∴x      2+82=（14-x）2解得：x=
      33
      7
      ∴⊙E的半径为
      9
      7
      ．（12分）
      ③当点E在射线DA上，⊙C与⊙E内切时，ED=x+6，EC=x+6-8=x-2，
      在直角三角形AEC中，AC      2+AE2=EC2
      ∴x      2+82=（x-2）2解得：x=-15（舍去），
      ∴内切不成立（14分）
      ∴当⊙C与⊙E相切时，⊙E的半径为9或
      9
      7
      ．
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