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(1999?广州)如图,等边△ABC的面积为S,⊙O是它的外接圆,点P是⌒BC的中点.(1)试判断过点C所作⊙O的切线与直线AB是否相交,并证明你的结论;(2)设直线CP与AB相交于点D,过点B作BE⊥CD,垂足为E,证明BE是⊙O的切线,并求△BDE的面积.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
(1999?广州)如图,等边△ABC的面积为S,⊙O是它的外接圆,点P是
⌒
BC
的中点.
(1)试判断过点C所作⊙O的切线与直线AB是否相交,并证明你的结论;
(2)设直线CP与AB相交于点D,过点B作BE⊥CD,垂足为E,证明BE是⊙O的切线,并求△BDE的面积.
试题解答
见解析
解:(1)CF是⊙O的切线,(如图)
CF与直线AB不相交.(1分)
证明:∵CF是⊙O的切线,
∴∠BCF=∠A,(3分)
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠A,
∴∠BCF=∠ABC,
∴CF∥AB,
∴CF与直线AB不相交.(4分)
(2)连接BO并延长交AC于H.
∵⊙O是等边△ABC的外接圆,
∴∠BHC=90°,(5分)
∵点P是BC的中点,
∴∠BCE=30°.(6分)
又∵∠ACB=60°,
∴∠HCE=90°.
∵∠BEC=90°,
∴∠HBE=90°.
∴BE是⊙O的切线. (8分)
在△ACD中,
∵∠ACD=90°,∠A=60°,
∴∠D=30°,(9分)
∴BD=BC,
∴DE=CE,
∴S
△BDE
=S
△BCE
,(10分)
在矩形BHCE中,
S
△BCE
=S
△BCH
=
1
2
S,(11分)
∴S
△BCE
=
1
2
S,
∴S
△BDE
=
1
2
S.(12分)
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