试题  
高中数学
小学

数学 语文 英语

初中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 思品

高中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 政治

  • 三棱???P-ABC，底面ABC为边长为2√3的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D为AP上一点，AD=2DP，O为底面三角形中心．（Ⅰ）求证DO∥面PBC；（Ⅱ）求证：BD⊥AC；（Ⅲ）设M为PC中点，求二面角M-BD-O的余弦值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      三棱???P-ABC，底面ABC为边长为2
      √3
      的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D为AP上一点，AD=2DP，O为底面三角形中心．
      （Ⅰ）求证DO∥面PBC；
      （Ⅱ）求证：BD⊥AC；
      （Ⅲ）设M为PC中点，求二面角M-BD-O的余弦值．

      试题解答

      见解析
      （本小题满分12分）
      证明：（Ⅰ）连接AO交BC于点E，连接PE．
      ∵O为正三角形ABC的中心，∴AO=2OE，
      且E为BC中点．又AD=2DP，
      ∴DO∥PE，--------------（2分）
      ∵DO?平面PBC，PE?平面PBC
      ∴DO∥面PBC．--------------（4分）
      （Ⅱ）∵PB=PC，且E为BC中点，∴PE⊥BC，
      又平面PBC⊥平面ABC，
      ∴PE⊥平面ABC，--------------（5分）
      由（Ⅰ）知，DO∥PE，
      ∴DO⊥平面PBC，
      ∴DO⊥AC--------------（6分）
      连接BO，则AC⊥BO，又DO∩BO=O，
      ∴AC⊥平面DOB，∴AC⊥BD．--------------（8分）
      （Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，EA，EB，EP两两互相垂直，且E为BC中点，
      所以分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(3，0，0)，B(0，
      √3
      ，0)，P(0，0，1)，D(1，0，
      2
      3
      )，C(0，-
      √3
      ，0)，M(0，-
      √3
      2
      ，
      1
      2
      )------------（9分）
      ∴
      BM
      =(0，-
      3
      √3
      2
      ，
      1
      2
      )，
      DB
      =(-1，
      √3
      ，-
      2
      3
      )
      设平面BDM的法向量为
      n
      =(x，y，z)，则
      {
      n
      ?
      DB
      =-x+
      √3
      y-
      2
      3
      z=0
      n
      ?
      BM
      =-
      3
      √3
      2
      y+
      1
      2
      z=0
      ，
      令y=1，则
      n
      =(-
      √3
      ，1，3
      √3
      )．--------------（10分）
      由（Ⅱ）知AC⊥平面DBO，
      ∴
      AC
      =(-3，-
      √3
      ，0)为平面DBO的法向量，
      ∴cos＜
      n
      ，
      AC
      ＞=
      n
      ?
      AC
      |
      n
      ||
      AC
      |
      =
      3
      √3
      -
      √3
      √3+1+27
      ?
      √9+3
      =
      √31
      31
      ，
      由图可知，二面角M-BD-O的余弦值为
      √31
      31
      ．--------------（12分）
      标签
      必修2人教A版解答题高中数学

    平面的基本性质及推论相关试题

    MBTS ©2010-2016 edu.why8.cn