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  • 如图，正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，AC∥DG∥EF．且DA=DE=DG=2，AC=EF=1．（Ⅰ）求证：BF∥CG；（Ⅱ）求三棱锥E-ABF的高．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，AC∥DG∥EF．且DA=DE=DG=2，AC=EF=1．
      （Ⅰ）求证：BF∥CG；
      （Ⅱ）求三棱锥E-ABF的高．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：取DG的中点M，连接AM、FM
      ∵EF∥DG，EF=
      1
      2
      DG
      ∴EF∥DM，EF=DM
      ∴四边形EFMD为平行四边形
      ∴FM∥ED，FM=ED
      ∵四边形ABED为正方形
      ∴AB∥FM，AB=FM
      ∴四边形ABFM为平行四边形
      ∴AM∥BF
      ∵四边形ACGM为平行四边形
      ∴AM∥CG
      ∴BF∥CG
      （2）设三棱锥E-ABF的高为h
      ∵正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，平面ABED∩平面ACGD=AD
      AB⊥AD，GD⊥AD
      ∴AB⊥平面ACGD，GD⊥平面ABED
      ∴AB⊥AC，GD⊥平面ACED
      ∵EF∥AC
      ∴AB⊥EF，EF⊥平面ABED
      ∵AB⊥BE，BE?平面BEF，EF?平面BEF，EF∩BE=E
      ∴AB⊥平面BEF，△ABF为直角三角形
      BF=
      √EB2+EF2
      =
      √22+12
      =
      √5

      由V      E-ABF=VA-BEF得
      1
      3
      ×S△ABF×h=
      1
      3
      ×S△BEF×AB
      ∴
      1
      3
      ×(
      1
      2
      ×AB×BF)×h=
      1
      3
      ×(
      1
      2
      ×BE×EF)×AB
      ∴
      1
      3
      ×(
      1
      2
      ×2×
      √5
      )×h=
      1
      3
      ×(
      1
      2
      ×2×1)×2
      ∴h=
      2
      √5
      5
      ．
      故三棱锥E-ABF的高
      2
      √5
      5
      ．
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