（2006?陕西）如图，三定点A（2，1），B（0，-1），C（-2，1）；三动点D，E，M满足AD=tAB，BE=tBC，DM=tDE，t∈[0，1]．（Ⅰ）求动直线DE斜率的变化范围；（Ⅱ）求动点M的轨迹方程．试题及答案-解答题-云返教育

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（2006?陕西）如图，三定点A（2，1），B（0，-1），C（-2，1）；三动点D，E，M满足

，

，t∈[0，1]．
（Ⅰ）求动直线DE斜率的变化范围；
（Ⅱ）求动点M的轨迹方程．

见解析

解法一：如图，（Ⅰ）设D（x₀，y₀），E（x_E，y_E），M（x，y）．
由

，

，知（x_D-2，y_D-1）=t（-2，-2）．
∴

{	x_D=-2t+2 y_D=-2t+1

同理

{	x_E=-2t y_E=2t-1

．
∴k_DE=

y_E-y_D

x_E-x_D

2t-1-(-2t+1)

-2t-(-2t+2)

=1-2t．
∵t∈[0，1]，∴k_DE∈[-1，1]．

（Ⅱ）∵

∴（x+2t-2，y+2t-1）=t（-2t+2t-2，2t-1+2t-1）=t（-2，4t-2）=（-2t，4t²-2t）．
∴

{	x=2(1-2t) y=(1-2t)²

，
∴y=

x²

，即x²=4y．
∵t∈[0，1]，x=2（1-2t）∈[-2，2]．
即所求轨迹方程为：x²=4y，x∈[-2，2]

解法二：（Ⅰ）同上．
（Ⅱ）如图，

+t（

）=（1-t）

，

+t（

）=（1-t）

，

+t（

）=（1-t）

=（1-t²）

+2（1-t）t

+t²

．
设M点的坐标为（x，y），由

=（2，1），

=（0，-1），

=（-2，1）得

{	x=(1-t²)?2+2(1-t)t?0+t²?(-2)=2(1-2t) y=(1-t)²?1+2(1-t)t?(-1)+t²?1=(1-2t)²

消去t得x²=4y，
∵t∈[0，1]，x∈[-2，2]．
故所求轨迹方程为：x²=4y，x∈[-2，2]

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