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  • 已知点F1（-1，0），F2（1，0），动点G满足|GF1|+|GF2|=2√2．（Ⅰ）求动点G的轨迹Ω的方程；（Ⅱ）已知过点F2且与x轴不垂直的直线l交（Ⅰ）中的轨迹Ω于P、Q两点．在线段OF2???是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知点F1（-1，0），F2（1，0），动点G满足|GF1|+|GF2|=2
      √2
      ．
      （Ⅰ）求动点G的轨迹Ω的方程；
      （Ⅱ）已知过点F      2且与x轴不垂直的直线l交（Ⅰ）中的轨迹Ω于P、Q两点．在线段OF2???是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由|GF1|+|GF2|=2
      √2
      ，且|F1F2|＜2
      √2
      知，动点G的轨迹是以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点的椭圆，
      设该椭圆的标准方程为
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1 (a＞0， b＞0)，c=
      √a2-b2
      ，
      由题知c=1，a=
      √2
      ，
      则b      2=a2-c2=2-1=1，
      故动点G的轨迹Ω的方程是
      x2
      2
      +y2=1．（4分）
      （Ⅱ）假设在线段OF      2上存在M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形．
      直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），
      由
      {
      x2+2y2=2
      y=k(x-1)
      可得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0．
      ∴      x1+x2=
      4k2
      1+2k2
      ，x1x2=
      2k2-2
      1+2k2
      ．（6分）
      MP
      =(x1-m，y1)，
      MQ
      =(x2-m，y2)，
      PQ
      =(x2-x1，y2-y1)，其中x2-x1≠0．
      由于MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，
      ∴(
      MP
      +
      MQ
      )⊥
      PQ
      ，则有(
      MP
      +
      MQ
      )?
      PQ
      =0，（8分）
      从而（x      2+x1-2m，y2+y1）?（x2-x1，y2-y1）=0，
      ∴（x      2+x1-2m）（x2-x1）+（y2+y1）（y2-y1）=0，
      又y=k（x-1），
      则y      2-y1=k（x2-x1），y2+y1=k（x2+x1-2），
      故上式变形为(x      2+x1-2m)+k2(x2+x1-2)=0，（10分）
      将      x1+x2=
      4k2
      1+2k2
      代入上式，得(
      4k2
      1+2k2
      -2m)+k2(
      4k2
      1+2k2
      -2)=0，
      即2k      2-（2+4k2）m=0，
      ∴m=
      k2
      1+2k2
      （k≠0），可知0＜m＜
      1
      2
      ．
      故实数m的取值范围是(0，
      1
      2
      )．（13分）
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