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  • 如图所示，B点坐标为（-c，0），C点坐标为（c，0），AH⊥BC，垂足为H，且BH=3HC．（1）若AB?AC=0，求以B、C为焦点并且经过点A的椭圆的离心率；（2）AD=λDB，A、D同在以B、C为焦点的椭圆上，当-5≤λ≤72时，求椭圆的离心率e的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图所示，B点坐标为（-c，0），C点坐标为（c，0），AH⊥BC，垂足为H，且BH=3HC．
      （1）若
      AB
      ?
      AC
      =0，求以B、C为焦点并且经过点A的椭圆的离心率；
      （2）
      AD
      =λ
      DB
      ，A、D同在以B、C为焦点的椭圆上，当-5≤λ≤
      7
      2
      时，求椭圆的离心率e的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵B（-c，0），C（c，0），
      ∴由
      BH
      =3
      HC
      ，解出H(
      c
      2
      ，0)，
      ∵AH⊥BC，可设A（
      c
      2
      ，y0），得
      AB
      =(-c-
      c
      2
      ，-y0)，
      AC
      =(c-
      c
      2
      ，-y0)
      ∴由
      AB
      ?
      AC
      =0，得(-c-
      c
      2
      )(c-
      c
      2
      )+y02=0，化简得y
      2
      0
      =
      3
      4
      c2，
      ∴|AB|=
      √(-c-
      c
      2
      )2+
      3
      4
      c2
      =
      √3
      c，|AC|=
      √(
      C
      2
      )2+
      3
      4
      c2
      =c，
      ∴以B、C为焦点椭圆的长轴2a=|AB|+|AC|=(
      √3
      +1)c，
      可得e=
      c
      a
      =
      2
      √3
      +1
      =
      √3
      -1．
      （2）设D（x      1，y1），
      ∵
      AD
      =λ
      DB
      ，A（
      c
      2
      ，y0），B（-c，0），∴x1=
      c
      2
      -cλ
      1+λ
      ，y1=
      y0
      1+λ
      ，
      将A(
      c
      2
      ，y0)，D(
      c
      2
      -cλ
      1+λ
      ，
      y0
      1+λ
      )代入
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1，
      可得
      {
      (
      c
      2
      )2
      a2
      +
      y
      2
      0
      b2
      =1
      (
      c
      2
      -cλ
      1+λ
      )2
      a2
      +
      (
      y0
      1+λ
      )2
      b2
      =1
      ，消去y
      2
      0
      得e2=
      λ+2
      λ-1
      ，
      ∵-5≤λ≤-
      7
      2
      ，可得
      1
      3
      ≤
      λ+2
      λ-1
      ≤
      1
      2
      ，
      ∴      e2∈[
      1
      3
      ，
      1
      2
      ]，解之得
      √3
      3
      ≤e≤
      √2
      2
      ．
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      选修1-1人教A版解答题高中数学

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