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  • 已知点F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点，P是椭圆C上的一点，且|F1F2|=2，∠F1PF2=π3，△F1PF2的面积为√33（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点M的坐标为(54，0)，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点，对于任意的k∈R，MA?MB是否为定值？若是求出这个定值；若不是???明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知点F1，F2分别为椭圆C：
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1(a＞b＞0)的左右焦点，P是椭圆C上的一点，且|F1F2|=2，∠F1PF2=
      π
      3
      ，△F1PF2的面积为
      √3
      3

      （Ⅰ）求椭圆C的方程；
      （Ⅱ）点M的坐标为(
      5
      4
      ，0)，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点，对于任意的k∈R，
      MA
      ?
      MB
      是否为定值？若是求出这个定值；若不是???明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）设|PF1|=m，|PF2|=n，在三角形PF1F2中，由余弦定理得4=m2+n2-2mncos
      π
      3
      ，由三角形的面积为
      √3
      3

      所以
      1
      2
      mnsin
      π
      3
      =
      √3
      3
      ，所以mn=
      4
      3
      ，所以m+n=2
      √2
      ，所以a=
      √2
      ；又c=1，所以b=1，椭圆C的方程为
      x2
      2
      + y2 =1；
      （Ⅱ）由F      2（1，0），直线l的方程为y=k（x-1）．由
      {
      y=k(x-1)
      x2
      2
      +y2 =1
      消去y，（2k2+1）x2-4k2x+2（k2-1）=0
      设A（x      1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=
      4k2
      2k2+1
      ，x1x2=
      2(k2-1)
      2k2+1

      ∴
      MA
      ?
      MB
      =（x1-
      5
      4
      ，y1）（x2-
      5
      4
      ，y2）=（x1-
      5
      4
      ）（x2-
      5
      4
      ）+y1y2
      =（x      1-
      5
      4
      ）（x2-
      5
      4
      ）+k2（x1-1）（x2-1）
      =（k      2+1）
      2k2-2
      2k2+1
      -
      4k2(k2+
      5
      4
      )
      2k2+1
      +
      25
      16
      +k2
      =
      -4 k2-2
      2k2+1
      +
      25
      16
      =-
      7
      16
      由此可知
      MA
      ?
      MB
      =-
      7
      16
      为定值．
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      选修1-1人教A版解答题高中数学

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