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  • 已知P是椭圆C：x28+y24=1上的动点，F1，F2分别是其左右焦点，O是坐标原点，则|PF1|-|PF2||PO|的取值范围是 ．试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      已知P是椭圆C：
      x2
      8
      +
      y2
      4
      =1上的动点，F1，F2分别是其左右焦点，O是坐标原点，则
      |
      PF1
      |-|
      PF2
      |
      |
      PO
      |
      的取值范围是          ．

      试题解答

      [-
      √2
      ，
      √2
      ]
      解：设P的坐标为（m，n）
      ∵椭圆C：
      x2
      8
      +
      y2
      4
      =1中，a2=8，b2=4，
      ∴c=
      √a2-b2
      =2，得椭圆的准线方程为x=±
      a2
      c
      ，即x=±4
      作出椭圆的右准线，设P在右准线上的射影为Q，连结PQ，
      根据圆锥曲线的统一定义，得
      |PF2|
      |PQ|
      =e，
      ∴|PF      2|=e|PQ|=
      √2
      2
      （4-m）=2
      √2
      -
      √2
      2
      m，同理可得|PF1|=2
      √2
      +
      √2
      2
      m，
      ∵|PO|=
      √m2+n2
      ，
      ∴
      |
      PF1
      |-|
      PF2
      |
      |
      PO
      |
      =
      (2
      √2
      +
      √2
      2
      m)-(2
      √2
      -
      √2
      2
      m)
      √m2+n2
      =
      √2
      m
      √m2+n2

      ∵点P（m，n）在椭圆
      x2
      8
      +
      y2
      4
      =1上，得
      m2
      8
      +
      n2
      4
      =1，
      ∴      n2=4(1-
      m2
      8
      )=4-
      m2
      2
      ，
      由此可得
      |
      PF1
      |-|
      PF2
      |
      |
      PO
      |
      =
      √2
      m
      √m2+(4-
      m2
      2
      )
      ，得（
      |
      PF1
      |-|
      PF2
      |
      |
      PO
      |
      ）2=
      4m2
      8+m2
      ，
      ∵m      2∈[0，a2]即m2∈[0，8]，得
      4m2
      8+m2
      ∈[0，2]，
      ∴
      |
      PF1
      |-|
      PF2
      |
      |
      PO
      |
      ∈[-
      √2
      ，
      √2
      ]．
      故答案为：[-
      √2
      ，
      √2
      ]
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      选修1-1人教A版填空题高中数学

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