试题  
高中数学
小学

数学 语文 英语

初中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 思品

高中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 政治

  • 设F1、F2分别是椭圆x25+y24=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1?PF2的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      设F1、F2分别是椭圆
      x2
      5
      +
      y2
      4
      =1的左、右焦点．
      （Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求
      PF1
      ?
      PF2
      的最大值和最小值；
      （Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F      2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由题意知a=
      √5
      ，b=2，c=1，∴F1=(-1，0)，F2(1，0)，
      设P（x，y），则
      PF1
      ?
      PF2
      =(-1-x，-y)? (1-x，-y)=x2+y2+1=x2+4-
      4
      5
      x2-1=
      1
      5
      x2+3，
      ∵x∈[-
      √5
      ，
      √5
      ]，
      ∴当 x=0时，即点P为椭圆短轴???点时，
      PF1
      ?
      PF2
      有最小值3；
      当x=±
      √5
      ，即点P为椭圆长轴端点时，
      PF1
      ?
      PF2
      有最大值4．
      （Ⅱ）假设存在满足条件的直线l．由题意知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=k（x-5）
      由方程组
      {
      x2
      5
      +
      y2
      4
      =1
      y=k(x-5)
      ，得（5k2+4）x2-50k2x+125k2-20=0
      依题意△=20(16-80k      2) ＞0，∴-
      √5
      5
      ＜ k＜
      √5
      5
      ．
      当-
      √5
      5
      ＜k＜
      √5
      5
      时，设交点C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为R（x0，y0），
      则      x1+x2=
      50k2
      5k2+4
      ，x0=
      25k2
      5k2+4
      ，∴y0=k(x0-5) =k(
      25k2
      5k2+4
      -5) =
      -20k
      5k2+4
      ，
      又|F      2C|=|F2D|?F2R⊥l?k?kF2R=-1，∴k?kF1R=k?
      0-(-
      20k
      5k2+4
      )
      1-
      25k2
      5k2+4
      =
      20k2
      4-20k2
      =-1，
      ∴20k      2=20k2-4，而20k2=20k2-4不成立，所以不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|
      综上所述，不存在直线l，使得|F      2C|=|F2D|．
      标签
      选修1-1人教A版解答题高中数学

    椭圆的应用相关试题

    MBTS ©2010-2016 edu.why8.cn