• 已知函数f(x)=(x2+ax-2a-3)ex,(Ⅰ)若x=2是函数f(x)的一个极值点,求实数a的值;(Ⅱ)设a<0,当x∈[1,2]时,函数f(x)的图象恒不在直线y=e2上方,求实数a的取值范围.试题及答案-解答题-云返教育

    • 试题详情

      已知函数f(x)=(x2+ax-2a-3)ex
      (Ⅰ)若x=2是函数f(x)的一个极值点,求实数a的值;
      (Ⅱ)设a<0,当x∈[1,2]时,函数f(x)的图象恒不在直线y=e
      2上方,求实数a的取值范围.

      试题解答


      见解析
      解:(I)由f(x)=(x2+ax-2a-3)ex可得
      f′(x)=(2x+a)e
      x+(x2+ax-2a-3)ex
      =[x
      2+(2+a)x-a-3]ex,(4分)
      ∵x=2是函数f(x)的一个极值点,
      ∴f′(2)=0
      ∴(a+5)e
      2=0,解得a=-5.(6分)
      代入f′(x)=(x+a+3)(x-1)e
      x=(x-2)(x-1)ex
      当1<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0,
      ∴x=2是f(x)的极值.
      ∴a=-5.
      (II)当x∈[1,2]时,函数f(x)的图象恒不在直线y=e
      2上方,
      等价于x∈[1,2],f(x)≤e
      x恒成立,
      即x∈[1,2],f(x)
      max≤ex恒成立.
      由(I)知,f′(x)=(x+a+3)(x-1)e
      x
      令f′(x)=0,得x
      1=-a-3,x2=1,
      当a≤-5时,-a-3≥2,∴f(x)在x∈[1,2]单调减,
      f(x)max=f(1)=(-a-2)e≤e2,a≥-e-2与a≤-5矛盾,舍去.
      当-5<a<-4时,1<-a-3<2,
      f(x)在x∈(1,-a-3)上单调递减,在x∈(-a-3,2)上单调递增,
      ∴f(x)
      max在f(1)或f(2)处取到,
      f(1)=(-a-2)e,f(2)=e
      2
      ∴只要f(1)=(-a-2)e≤e
      2
      解得-e-2≤a<-4.
      当-4≤a<0时,-a-3≤1,
      f(x)在x∈[1,2]上单调增,
      f(x)max=f(2)=ex,符合题意,
      ∴实数a的取值范围是[-e-2,0).
    MBTS ©2010-2016 edu.why8.cn