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已知函数f(x)=a-22x+1(a∈R)为奇函数.(1)求函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)满足f(k-2)+f(2x+1+4x)>0对于任意x∈R恒成立,求实数K的取值范围;(3)证明xf(x)≥0.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=a-
2
2
x
+1
(a∈R)为奇函数.
(1)求函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)满足f(k-2)+f(2
x+1
+4
x
)>0对于任意x∈R恒成立,求实数K的取值范围;
(3)证明xf(x)≥0.
试题解答
见解析
解:∵函数f(x)=a-
2
2
x
+1
(a∈R)为奇函数,
∴f(0)=0,∴a=1.
∴f(x)=1-
2
2
x
+1
,
(1)∵f'(x)=
2×2
x
ln2
(2
x
+1)
2
>0,
∴函数在R上为增函数;
(2)∵f(k-2)+f(2
x+1
+4
x
)>0,
∴f(2
x+1
+4
x
)>-f(k-2)=f(2-k),
∴2
x+1
+4
x
>2-k,∴k>2-(2
x+1
+4
x
),
∵f(k-2)+f(2
x+1
+4
x
)>0对于任意x∈R恒成立,
∴只需k>[2-(2
x+1
+4
x
)]
max
,
设函数g(x)=2-(2
x+1
+4
x
)=-(2
x
)
2
-2×2
x
+2,
令2
x
=t,(t>0),
∴g(t)=-t
2
-2t+2=-(t+1)
2
+3,
∴g(t)<3,∴k>3,
∴实数k的取值范围(3,+∞);
(3)设函数h(x)=xf(x)
∵函数f(x)为奇函数,
∴h(-x)=-xf(-x)=xf(x)=h(x),
∴函数h(x)=xf(x)为偶函数,
当x=0时,h(0)=0.
当x>0时,
∵2
x
+1>2,
∴0<
2
2
x
+1
<1,
∴1-
2
2
x
+1
>0,
∴xf(x)>0,
∴当x≥0时,xf(x)≥0,
由函数图象的对称性,知函数xf(x)≥0.
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单选题
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数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
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