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(2012?黄陂区模拟)已知:如图,以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点(异于A,B),过点P作半圆O的切线分别交过A,B两点的切线于D,C,AC、BD相交于N点,连接ON、NP.下列结论:①四边形ANPD是梯形;②ON=NP;③DP?PC为定值;④PA为∠NPD的平分线.其中一定成立的是( )试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
(2012?黄陂区模拟)已知:如图,以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点(异于A,B),过点P作半圆O的切线分别交过A,B两点的切线于D,C,AC、BD相交于N点,连接ON、NP.下列结论:①四边形ANPD是梯形;②ON=NP;③DP?PC为定值;④PA为∠NPD的平分线.其中一定成立的是( )
试题解答
C
解:①因为DA、DP、CP、CB为⊙O切线,故DA⊥AB,CB⊥AB.
于是AD∥BC,AD=DP,CB=CP.
∴∠CAD=∠NCB,∠ADN=∠DBC,
∴△AND∽△CNB,
∴
CB
AD
=
CN
NA
=
CP
DP
,
∴NP∥BC,
故NP∥AD,又AN与DP相交,
∴四边形ANPD是梯形,本选项正确;
②不能确定;
③连接OP,OD,OC,如图所示:
由DA,DP为圆O的切线,
∴∠OAD=∠OPD=90°,
在直角三角形OAD和OPD中,
DA=DP,OD=OD,
∴△OAD≌△OPD,
∴∠AOD=∠POD,
同理∠POC=∠BOC,
∠AOD+∠DOP+∠POC+∠BOC=180°,
∴∠COD=∠DOP+∠COP=90°,又OP⊥CD,
∴∠POD+∠POC=90°,∠POD+∠ODP=90°,
∴∠ODP=∠POC,同理∠POD=∠PCO,
∴△OPD∽△CPO,又AD=DP,CB=CP,
∴
OP
PC
=
DP
OP
,即OP
2
=DP?PC,
∵OP为圆O的半径,为定值,故DP?PC为定值,本选项正确;
④因为DA=DP,所以∠DAP=∠DPA.
因为NP∥AD,所以∠NPA=∠DAP.
所以∠DPA=∠NPA.
PA为∠NPD的平分线.
则一定成立的选项有:①③④.
故答案为:①③④.
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